結合木問題のランダム化されたクエリの複雑さ

チャイルズらによる2003年の重要な論文。「結合木問題」を導入しました。これは、私たちが知っているような他のどのような問題とも異なる指数関数的量子高速化を認める問題です。この問題では、次の図のような指数関数的に大きなグラフが与えられます。これは、深さがnの2つの完全な二分木で構成され、その葉はランダムサイクルで互いに接続されています。ENTRANCE頂点のラベルが提供されます。また、任意の頂点のラベルを入力として与え、その隣接のラベルを伝えるオラクルも提供されます。私たちの目標は、EXIT頂点を見つけることです（これは、ENTRANCE頂点以外のグラフ内の唯一の次数2の頂点として容易に認識できます）。ラベルは長いランダムな文字列であると想定できるため、圧倒的な確率で、ENTRANCE頂点以外の頂点は、oracleによって与えられます。

チャイルズら。クォンタムウォークアルゴリズムは、このグラフを簡単にたどり、poly（n）ステップ後にEXIT頂点を見つけることができることを示しました。対照的に、彼らはまた、任意の古典的なランダム化アルゴリズムが高い確率でEXIT頂点を見つけるためにexp（n）ステップを必要とすることを示しました。彼らは下限をΩ（2 ^{n / 6}）と述べたが、彼らの証明を詳しく調べるとΩ（2 ^{n / 2}）が得られると思う。直感的には、これは圧倒的な確率で、グラフ上のランダムウォーク（自己回避ウォークなど）が指数関数的な時間にわたって広大な中間領域で立ち往生するためです。 、EXITから離れる方向に向いている非常に多くのエッジは、それを中央に向かって押し戻す「反発力」として機能します。

彼らが議論を形式化した方法は、それが〜2 ^{n / 2の}頂点を訪れるまで、ランダム化されたアルゴリズムがグラフ内でサイクルを見つけさえしないことを示すことでした：今まで見られた誘導部分グラフは、 EXIT頂点の位置に関する情報。

この問題のランダム化されたクエリの複雑さをより正確に特定することに興味があります。私の質問はこれです：

誰でも〜2 ⁿ未満のステップでEXIT頂点を見つける古典的なアルゴリズムを思いつくことができますか？---たとえば、O（2 ^{n / 2}）、またはO（2 ^{2n / 3}）で？あるいは、誰かがΩ（2 ^{n / 2}）より良い下限を与えることができますか？

（誕生日の逆説では、O（2 ^{n / 2}）ステップ後のグラフでサイクルを見つけるのは難しくありません。問題は、EXIT頂点がどこにあるかについての手がかりを得るためにサイクルを使用できるかどうかです。）

誰かがΩ（2 ^{n / 2}）を超えて下限を改善できるなら、私の知る限り、これはランダムなクエリの複雑さが√Nより大きい指数量子高速化を伴うブラックボックス問題の最初の証明可能な例を提供します。（N〜2 ⁿは問題のサイズです。）

更新： Andrew Childsから、このノートでは、FennerとZhangが、結合ツリーのランダム化された下限をΩ（2 ^{n / 3}）に明示的に改善することを学びました。彼らが（指数関数的に小さな）成功確率ではなく、一定の受け入れ確率を受け入れるなら、Ω（2 ^{n / 2}）までさらに限界を改善できると思います。

$O(n2^{n/2})$

$n/2$$O(2^{n/2})$$n+1$$X$$n+1$

$X$$Y$$O(2^{n/2})$$n/2$$Y$$n/2$$X$$Y$$Y$$O(2^{n/2})$$X_2$$n+2$

$n+3$$X_2$$n/2$$n/2$$X_2$

$n$$O(n2^{n/2})$

$X_t$$X_{t+1}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$X_t$。