Ptimeでの二分決定木の正規表現？

二分決定木（BDT）の一種の「通常の形式」を扱いやすい方法で提供する方法が存在するかどうか疑問に思っています。

より正確には、BDTはブール変数でラベル付けされた内部ノードとまたはラベル付けされた葉を持つツリーです。BDTはブール関数を明白な方法で表します。2つのBDTが同じ関数を表す場合、それらは同等です（）。$0$$1$$A,B$$A\sim B$

BDTを入力して次のような他のデータ構造に変換する関数は存在しますか？$f$

1. $f$はPtime
2. $f(A)=f(B)$場合のみ$A\sim B$
3. $f$には疑似逆、つまり、これもPtime$g$$g(f(A))\sim A$

たとえば、順序付けされた二分決定グラフの削減OBDDは2と3を検証しますが、1は検証しません。これは、変数の順序が間違っていると、出力が指数関数的なサイズになる可能性があるためです。

これは不可能かもしれないと感じていますが、その証拠はどこにもありません。

リッキー・デマーの提案についてさらにコメントするには：

このペーパーでは、（Ptimeの等価クラス）および（Ptimeの完全な不変式）およびCF（Ptimeの標準形）クラスを定義します。彼らは、およびさまざまな（あまり考えられない）影響を研究していますが、これらの質問に対する明確な回答は提供していません。$PEq$$Ker$$PEq=Ker$$Ker=CF$

この質問に対するさまざまな否定的な回答（1＆＆2＆3は不可能）は、または ... として分離結果を提供します。これは、これまでのところ未解決の問題のようです。$PEq\neq Ker$$Ker\neq CF$

ではないと仮定すると、そのような正準表現は存在しないと思います。証明：そのような正準表現が存在するとします。次に、関数は多項式時間で計算できるため、特にはです。ただし、をと同等の最小BDTとすると、なので、はです。このような近似アルゴリズムは、私が正しく理解していれば、別の投稿の回答によると、意味します。$\mathsf{NP} \not \subseteq \mathsf{SUBEXP}$$A \mapsto g(f(A))$$|g(f(A))|$$\text{poly}(|A|)$$B$$A$$g(f(A)) = g(f(B))$$|g(f(A))|$$\text{poly}(|B|)$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{SUBEXP}$