このエッジカラーリング問題の複雑さは何ですか？

最近、私は以下のエッジカラーリングのバリエーションに遭遇しました。

接続された無向グラフ与えられ、また制約を満たしながら色の最大数を使用してエッジのカラーリングを見つけ、そのすべての頂点のための、にエッジ入射最大2色での使用。 $v$ $v$

私の最初の推測は、問題がNP困難であるということです。グラフ彩色問題の古典的なNP困難な証明は、ほとんど3SATからの削減によるものです。しかし、私の意見では、これらの証明はこの問題には役立ちません。なぜなら、頂点に入射するエッジは同じ色で着色できるため、グラフに論理コンポーネントを構築できないからです。

この問題はNP困難なのでしょうか？はいの場合、証拠とは何ですか？証拠を微調整できない場合、この問題の複雑さを判断する方法はありますか？

ありがとう！

— RIC_Eien
ソース

おそらく、混合または色に制限のあるハイパーグラフのカラーリングが始まりでしょうか？例えば、dx.doi.org/10.1016/j.disc.2008.04.019

— アンドラス・サラモン

あなたの問題は2段階でPにあるようです：（1）あなたの問題は、すべての頂点が最大で2つの次数を持つエッジの最大サイズのサブセットを見つけることと同等であり、（2）後者の問題はたとえば、マッチングによる削減によるP。（1）に関して、k色の問題の解決策はサイズkの次数2のサブグラフ（各色から1つのエッジを保持するだけ）を与え、逆にサイズkの次数2のサブグラフはk色の解決策を与えることに注意してください（サブグラフの各エッジに独自の色を付け、残りのエッジにいずれかの色を付けます）。私は何が欠けていますか？

— ニールヤング

あなたの答えにいくつかの間違いがあることを残念に思います。最初は、「すべての頂点の次数が最大で2になるようにエッジの最大サイズのサブセットを見つける」という問題は、NP困難であり、3SATに削減されます（どのように削減することが一致するかわかりません）。さらに、「サイズkの次数2のサブグラフ」では、「完全なグラフ」などの「k色の解」は得られません。みんなありがとう。

— RIC_Eien

はい、あなたが正しい。（2）について、「残りのエッジをいずれかの色で色付けする」ステップで、3色の頂点エッジが得られます。それとは別に、マレククロバックは私に次のアルゴリズムを提案しました。私はそれが3つの近似を与えると思う：（i）最大一致Mを見つける。（ii）Mの各エッジに独自の色を付けます。（iii）残りのエッジの色を白にします。

— ニールヤング

@RIC_Eien：さらに恥ずかしがる危険があります。「問題は、「すべての頂点の次数が最大で2になるようにエッジの最大サイズのサブセットを見つける」問題は、NP困難ですか？」G =（V、E）の場合、2部構成のG2 =（U、W、E2）を作成します。Vの各頂点vには、Uにv '、Wにv' 'があり、E2 = {（u'、w ''）：（u、w）in E}。次に、G2のマッチングはGの次数2のエッジセットに対応し、対応はサイズを保持しますか？（Gの各kサイクルCは、G2で2kサイクル（奇数kの場合）または2 kサイクル（偶数kの場合）に対応します。）したがって、G2の最大一致はそれを解決します。今回は何が欠けていますか？

— ニールヤング

$q$

この問題のパラメータ化された複雑さの側面は、この最近の論文で取り上げられています。

— vb le
ソース

私はこの素晴らしい問題についてしばらくの間考えていました...削減について説明してもらえますか？論文にアクセスできません。ありがとう！

— user13667

@ user13667論文のコピーを送信するよう著者に依頼できます。彼らは喜んでそうするだろうと思います。

— vbル

最大の色グループのサイズを最小化しながら色数を最大化する色付けを見つけるという関連する問題も研究されています。たとえば、この修士論文にはいくつかの詳細な結果があります。

— ニールダラ