色彩数とベクトル色数の間にギャップがある小さなグラフ？

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私は小さなグラフを探していそのベクトル色数色数未満である。 $G$ $\chi_v(G)<\chi(G)$

（ベクトル色番号有する割り当てがある場合。隣接する頂点に関連付けられた直感的ベクターは遠く離れている必要があり、。たとえば、場合、三角形の頂点で十分です。） $G$ $q$ $x\colon V \rightarrow \mathbf R^d$ $\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)$ $q=3$

グラフのベクトル色数が波長数より大きくない：。例はでグラフが知られている。（スーダン、モトワニ、Mogerani [JACM、45：246-265]（原稿）によるオリジナルの論文は、一般化されたKneserグラフを示唆しています。最近の論文は、ランダムな単位ベクトルに基づく構造を使用しています。） $\chi_v(G)\leq \chi(G)$ $\chi_v(G)=3$ $\chi(G)=n^\delta$

私は、例えばグラフと思うとと（コンピュータ計算に基づく）を。このグラフには、20個の頂点と90個のエッジがあります。 $K$ $\chi_v(K)=4$ $\chi(K)=8$

もっと小さな例はありますか？そのような獣が存在する場合、魅力的な方法は、ChvatalまたはGrötzschグラフの3色の具体的なベクトルを提供することです。

（必要性は、整数ではないが、それはいいだろう更新：としては、非整数の場合は、簡単に実際にある、以下の指摘ありがとうございました。） $\chi_v$

更新：GrötzschおよびChvátal

ChvátalグラフとGrötzschグラフのベクトル3色付けについて考えることは避けられませんでした。

Grötschグラフは、次のように3色のベクトルにすることができます。北極に5次ノードを配置します。5度から4度のノードは、北から約77度の同じ緯度に均等に配置されています。地球の北半球に描かれたペントラグラムを想像してください。残りの5つのノード（次数3）は、北から約135度の南半球に到達します。は、他の5つの経度と同じ経度を持ちます。（図面がある場合はアップロードしますが、TikZで測地線を描くのは思ったより難しいです。）

SDPソルバーによると、Chvátalはベクトル3色も認めていますが、出力は5次元のベクトルの集まりであり、解釈が困難です。

（3回目の試行は失敗しました：Yuryの構造に触発され、5サイクルを取り、他のすべてに隣接する頂点頂点を追加します。このグラフは色数4を持っています。

— ソア・ハスフェルト
ソース

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ベクトル色数のリンクまたは定義を提供できますか？

— スレシュヴェンカト

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、ここで

は5つの頂点のサイクルです。

最小のグラフである

ST

。

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5})

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5)$

C_{5}

$C_5$

C_{5}

$C_5$

G

$G$

χ_{v} (G) \neq χ (G)

$\chi_v(G) \neq \chi(G)$

— ユーリー

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コメントを回答にします。我々は必要としない場合はの整数であり、次に最小の例は、（5つの頂点にサイクル）： $\chi_v(G)$ $G=C_5$

χ_{v} (C_{5}) = \sqrt{5} < 3 = χ (C_{5}) . [Lovász]

$\chi_v(C_5) = \sqrt{5} < 3 = \chi(C_5) . \qquad\text{[Lovász]}$

これは一例に、この例を変換するためには難しいことではありませんの整数です。LET 2つの5サイクルの和集合であるおよびからのすべての頂点た内のすべての頂点に接続されている。ましょう。最後に、をと結合とします $\chi_v(G)$ $G_1$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $C_5^{(1)}$ $C_5^{(2)}$ $G_2=K_5$ $G$ $G_1$ 。それから $G_2$

\begin{aligned} χ （ G ） & = 最大 （ χ （ G_{1} ） 、 χ （ G_{2} ） ） = χ （ G_{1} ） = 6。 \\ χ_{v} （ G ） & = 最大 （ χ_{v} （ G_{1} ） 、 χ_{v} （ G_{2} ） ） = 最大 （ 2 \cdot \sqrt{5} 、 5 ） = 5。 \end{aligned}

$\begin{align*} \chi(G) &= \max(\chi(G_1), \chi(G_2)) = \chi(G_1) = 6.\\ \chi_v(G) &= \max(\chi_v(G_1), \chi_v(G_2)) = \max(2\cdot \sqrt{5}, 5) = 5. \end{align*}$

— ユリー
ソース

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ここでは、単位球にグレッツグラフを埋め込みます。ここに画像の説明を入力してくださいこれは、明らかな方法でのベクトル色付けに対応します。たとえば、北極の頂点はベクトル（0,0,1）で色付けされます。

Grötschグラフには3種類のノードがあります。単一度5ノード（北）。5度4ノード（Nと等距離の北半球では、そのうち3つを作成できます）。5度3のノード（南半球では、Nと等距離にあり、3つを作成できます）。

Nは、緑のエッジで南半球の5つの近隣に接続されています。（緑のエッジは、北半球の4度の頂点に入射しているように見えますが、これは埋め込みのアーティファクトです。）

$C_5$ ここに画像の説明を入力してください

最後に、南極の上からの眺め：ここに画像の説明を入力してください

私の計算が信じられる場合、すべての隣接する頂点は互いに120度以上離れているので、これは有効なベクトル3色を構成します。グレッツグラフは4色です。11頂点、20エッジ。ベクトルの色付けは3次元であるため、この例を特に気に入っています。視覚化できます。（そして、KMSグラフ彩色アルゴリズムを説明するために、ランダムな超平面を描きます。）

— ソア・ハスフェルト
ソース