平面グラフの着色

すべての内部面が三角形である平面グラフのセットを考えます。奇数次の内部ポイントがある場合、グラフを3色にすることはできません。すべての内部ポイントに均等の度合いがある場合、常に3色にすることができますか？理想的には小さな反例が欲しい。

graph-theory co.combinatorics graph-colouring

— ランス・フォートナウ
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回答:

はい、これは三色の定理の帰結です。ここの下部を参照してください：http : //kahuna.merrimack.edu/~thull/combgeom/colornotes.html

— domotorp
ソース

ありがとう。証拠の参照はありますか？

— ランスフォートノウ

あなたはこれらの2つの論文に見えるかもしれません：google.com/...とgoogle.com/...

— ジョセフMalkevitch

Malkevitchの参考文献に追加するには、3色性の同等性と平面三角形分割の程度は、通常、PJ Heawoodの「4色マップの定理について」に起因します。四半期ごとのJ. Pure Appl。数学。29：270–285、1898。しかし、マルケビッチがリンクした論文には、この帰属についてもっと言及する必要がある。

— デビッドエップシュタイン

また、その帰結はハルのノートでは言及されておらず、3色の定理自体のみが言及されています。しかし、三角形の内面と内部頂点さえも含む3連結グラフGから、外面にGの2つのコピーをステッチするだけで、偶数頂点を持つ最大の平面グラフ2Gを形成できます。Gが3連結でない場合、その3連結コンポーネントを個別に3色にすることができます。

— デビッドエップシュタイン

この結果は高次元にまで及びます。すべての頂点が偶数次になるようにd次元の球の三角形分割は（d + 1）着色可能です。たとえば、この論文を参照してください。ジェイコブE.グッドマンと大西博典、三角測量とグラフの色付け、Trans。あ。数学。Soc。246（1978）、501〜510。 $S^3$

— ギル・カライ
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