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私の仕事では、次の問題が発生します。 順序65の独立したセットなしでグラフの色数を近似する既知のアルゴリズムはありますか？（したがって、alpha（G）<= 64が既知であり、| V | / 64は自明な下限、| V |は自明な上限です。しかし、この特別な条件下でより良い証明された近似はありますか？） 分数の色数までリラックスしたらどうなりますか？そして、平均的なケースで「良い」実行時間に？

12 ds.algorithms  graph-algorithms  approximation-algorithms  graph-colouring 

グラフの色分けの問題は、ほとんどの人にとってすでに困難です。それでも、私は困難になり、ハイパーグラフの色付けに関する問題を尋ねる必要があります。 質問。 k-均一ハイパーグラフのほぼ最適なエッジカラーリングを見つけるための効率的なアルゴリズムは何ですか？ 詳細--- k-均一ハイパーグラフは、各エッジに正確にk個の頂点が含まれるハイパーグラフです。単純なグラフの通常の場合は、k = 2です。より正確には、2つのエッジが実際に同じ頂点セットを持つラベル付き k-均一ハイパーグラフに興味があります。ただし、エッジがk-1以下の頂点で交差するk正規ハイパーグラフで何かを解決します。 ハイパーグラフのエッジカラーリングは、グラフの場合のように、同じ色のエッジが交差しないものです。色度指数χ '（H）は、通常のように、必要な色の最小数です。 決定論的またはランダム化された多項式時間アルゴリズムの結果が欲しいです。 効率的に見つけることができるものと実際の色指数χ '（H）の間の最もよく知られている近似係数/加算ギャップを探しています最大頂点次数Δ（H）、ハイパーグラフのサイズなど。 編集：以下のハイパーグラフ双対に関するSureshの発言によって促されます。この問題は、k正規ハイパーグラフの強い頂点カラーリングを見つける問題と同等であることに注意する必要があります。現在、異なる数の頂点が含まれている可能性があります]。また、隣接する2つの頂点の色が異なるように頂点を色付けする必要があります。この再定式化にも明らかな解決策はないようです。 備考 グラフの場合、Vizingの定理は、グラフGのエッジクロマティック数がΔ（G）またはΔ（G）+1であることを保証するだけでなく、その標準的な証明は、Δ（G ）+1エッジ色。この結果は、k = 2の場合に興味があれば十分でしょう。ただし、k> 2任意に特に興味があります。 最大でt個の頂点で交差するすべてのエッジなどの制限を追加しない限り、ハイパーグラフのエッジの色付けの境界に関する既知の結果はないようです。ただし、χ '（H）自体に境界は必要ありません。「十分な」エッジカラーリングを見つけるだけのアルゴリズム。[また、ハイパーグラフに制限を付けたくありません。ただし、k-均一であることと、最大頂点次数の範囲を除きます。たとえば、f∈ω（1）に対してΔ（H）≤f（k） 。] [ 補遺。私が今求めているMathOverlowに関連する質問を建設あるいは、彩色数の限界について。]

12 co.combinatorics  hypergraphs  graph-colouring 

次の主張は知られていますか？ クレームは：任意のグラフについてはとn個の頂点の着色存在G毎に独立したセットはせいぜいによって着色されるようにOを（√GGGnnnGGG色。O （n−−√）O(n)O(\sqrt{n})

11 reference-request  graph-colouring 

色付けを少し緩和します。つまり、少数の隣接する頂点に同じ色を割り当てます。単色成分は、同じ色を受け取る頂点のセットによって誘導されるサブグラフの連結成分であると定義され、問題は、最大単色成分がサイズを持つようにグラフを色付けするのに必要な色の最小数λλ\lambdaCCCを求めることです超えないC。この設定では、 従来の色付けは色付けと見なすことができます。したがって、一般的な平面グラフの場合、λの最小数はNP困難です。 [λ,1][λ,1][\lambda,1]λλ\lambda 私の質問はどのようにについて、ある平面グラフの-coloring[λ,2][λ,2][\lambda,2]、またはより一般的には、のため-coloring C ≥ 2？[λ,C][λ,C][\lambda,C]C≥2C≥2C \geq 2 これはによって研究されているものの二重の問題として見ることができエドワーズとファー、固定されており、1は最小のサイズを見つけるように頼まれるCを。λλ\lambdaCCC

11 cc.complexity-theory  graph-theory  graph-colouring  planar-graphs 

おおよそのグラフの色分けの結果を聞きましたが、ソースが見つかりません。結果は次のとおりです。 すべての定数に対して、色のグラフを色で着色することがNP困難になるように、十分に大きなが存在します。k k h khhhkkkkkkhkhkhk 誰かが関連する論文を私に指摘してもらえますか？

10 reference-request  approximation-hardness  graph-colouring 

有界次数グラフで分数の彩色数を概算することはapx困難ですか？

10 cc.complexity-theory  graph-theory  approximation-hardness  graph-colouring  bounded-degree 

1991年の素晴らしい論文があり、さまざまなグラフクラスファミリに関する3つの図表があり、それらの色度指数を決定することの硬さについて知られていることを示しています。それ以降、何かニュースはありますか？ 有彩色数が制限されたグラフについて知られていることに最も興味があります。私の好奇心は/mathpro/238448/hypergraph-edge-colouringによって提起されています。

9 graph-theory  np-hardness  graph-colouring 

平面3-着色剤の探索のタスクが複雑であることが知られている場合、私は思っていたO(cn√)O(cn)O\left(c^{\sqrt{n}}\right)以下ですか？これは、平面セパレーターの結果に基づく直感的な結果であるように感じますが、ウィキペディアでは、独立セット、シュタイナーツリー、ハミルトニアンサイクル、およびTSPについてのみ言及しています。以下に、私がほぼこの限界を達成していると私が考えるいくつかの推論を含めます。 ゼロ削減決定図（ZDD）を使用すると、O(cO(log2(n)n√))O(cO(log2(n)n))O\left(c^{O(log_2(n)\sqrt{n})}\right)、そして私はもっと上手にできる方法に興味がありました。私が思いついたのはかなり初歩的なものです。注：全体を通して、私が説明するZDDは3項ですが、それほど重要ではないと思います。ZDDの場合、色付けする頂点の順序L={v1…vn}L={v1…vn}L = \{v_1 \dots v_n\}与えられると、ステップiiiでのノードの数は、境界のサイズFi={vk|k&lt;i∧vk vj,j≥i}Fi={vk|k&lt;i∧vk vj,j≥i}F_i = \{v_k | k < i \land v_k~v_j, j \geq i \}に対して指数関数になります。K&lt;I∧Vのk個のVのJ、J≥I}。 順序付けLLLを作成するには、最大√幅の多項式時間で最適な分岐分解ツリーbbbを作成できます。n−−√n\sqrt{n}。次に、bのランダムなリーフv′v′v’をルートとして選択します。BFS、重量各エッジとEに接続されていない葉の数によってV「あなたが削除した場合に電子をから、B。次に、DFSを実行して最終的にLを作成し、常にv′から最も遠いエッジに移動し、タイがある場合は重みが最小のエッジを選択し、タイがある場合は任意に選択します。我々は、葉に到達すると、（U、V）を追加U/VのにLのいずれかがされていない場合はLbbbeeev′v′v’eeebbbLLLv′v′v’(u,v)(u,v)(u,v)uuuvvvLLLLLL。してみましょうcicic_iに誘導される成分であってbbb頂点によって、我々は追加したときに訪れたviviv_iにLLL。次に、FiFiF_iは、枝の幅と、コンポーネントc iを取得するためにbから削除する必要のあるエッジの数xixix_i掛けたものによって制限されます。xは、bの頂点のl o g 2によっておおよそ境界付けられます。これは、平面グラフを扱っているため、nに対して線形です。bbbcicic_ixxxlog2log2log_2bbbnnn これで、nnnフロンティアごとに各ノードの3色すべてを確認できました。

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c-彩色数は、グラフのコグラフへのパーティション分割で定義されています。各カラークラスがcographになるように、頂点のカラーリングに使用されるカラーの最小数を要求します。CographはP4フリーのグラフです。つまり、長さ3の誘導経路はありません。 紙は、としてCクロマチック数意味、その証明証明をするために使用することができる4ページ備考12を任意の色を、多項式時間で最大で色の色に変換します。c （G ）c(G)c(G)⌈1+ΔC （G ）≤ ⌈ 1 + Δ2⌉c(G)≤⌈1+Δ2⌉c(G)\le \lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil ⌈ 1 + Δ2⌉⌈1+Δ2⌉\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil 古典的なグラフの色付け、つまり色数の研究では、貪欲な色付けが議論されました。貪欲なカラーリングのパフォーマンスは、頂点の順序によって決まります。最悪の場合、グラフには色が必要ですが、です。これは、貪欲なカラーリングの近似比が恣意的に悪いことを意味します。| V |χ （G ）χ(G)\chi(G) χ（G）=2| V|2|V|2\frac{|V|}{2}χ(G)=2χ(G)=2\chi(G)=2 同様に、グラフをコグラフに着色する場合、貪欲な着色を使用できます。頂点の順序を指定して、各頂点に最小の色でラベルを付け（色が1、2、3、...とラベル付けされていると想定）、各色クラスがコグラフになるようにします。 私の質問は： コグラフの色付けに対する貪欲な色付けの最悪の動作は何ですか？ 貪欲な色付けには色よりも多くの色が必要なのでしょうか？⌈1+Δ2⌉⌈1+Δ2⌉\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil

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