色の平面グラフ？

平面3-着色剤の探索のタスクが複雑であることが知られている場合、私は思っていた $O\left(c^{\sqrt{n}}\right)$ 以下ですか？これは、平面セパレーターの結果に基づく直感的な結果であるように感じますが、ウィキペディアでは、独立セット、シュタイナーツリー、ハミルトニアンサイクル、およびTSPについてのみ言及しています。以下に、私がほぼこの限界を達成していると私が考えるいくつかの推論を含めます。

ゼロ削減決定図（ZDD）を使用すると、 $O\left(c^{O(log_2(n)\sqrt{n})}\right)$ 、そして私はもっと上手にできる方法に興味がありました。私が思いついたのはかなり初歩的なものです。注：全体を通して、私が説明するZDDは3項ですが、それほど重要ではないと思います。ZDDの場合、色付けする頂点の順序 $L = \{v_1 \dots v_n\}$ 与えられると、ステップ $i$ でのノードの数は、境界のサイズ $F_i = \{v_k | k < i \land v_k~v_j, j \geq i \}$ に対して指数関数になります。

順序付け $L$ を作成するには、最大幅の多項式時間で最適な分岐分解ツリー $b$ を作成できます。 $\sqrt{n}$ 。次に、ランダムなリーフ $v’$ をルートとして選択します。BFS、重量各エッジとに接続されていない葉の数によってあなたが削除した場合にから。次に、DFSを実行して最終的に作成し、常にから最も遠いエッジに移動し、タイがある場合は重みが最小のエッジを選択し、タイがある場合は任意に選択します。我々は、葉に到達すると、を追加/にのいずれかがされていない場合は $b$ $e$ $v’$ $e$ $b$ $L$ $v’$ $(u,v)$ $u$ $v$ $L$ $L$ 。してみましょう $c_i$ に誘導される成分であって $b$ 頂点によって、我々は追加したときに訪れた $v_i$ に $L$ 。次に、 $F_i$ は、枝の幅と、コンポーネントを取得するためにから削除する必要のあるエッジの数 $x_i$ 掛けたものによって制限されます。は、の頂点のによっておおよそ境界付けられます。これは、平面グラフを扱っているため、線形です。 $b$ $c_i$ $x$ $log_2$ $b$ $n$

これで、 $n$ フロンティアごとに各ノードの3色すべてを確認できました。

— ザカリーハンター
ソース

なぜこの質問は反対票が投じられたのですか？

— Sasho Nikolov

ツリー幅

グラフを3色で着色できるかどうかをチェックするために

で実行されるDPアルゴリズムを見つけることは難しくありません。平面グラフにはツリー幅

3^{k} p o l y (n)

$3^k poly(n)$

k

$k$

希望の時間制限が続きます。

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Chandra Chekuri

平面セパレーター定理は、幅

多項式時間で。要求された実行時間に対して正確なアルゴリズムは必要ありません。また、平面グラフのツリー幅には定数係数の近似があります。これらはよく知られた結果です。

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— Chandra Chekuri

マイナーコメント：

以来

\sqrt{n}

$\sqrt n$

3

$3$

c o n s t

$const$

O (c^{\sqrt{n}})

$O(c^{\sqrt{n}})$

O (c^{\sqrt{n}})

$O(c^{\sqrt n})$

Cygan、Fomin、Kowalik、Lokshtanov、Marx、Pilipczuk、Pilipczuk、Saurabhの優れた本のセクション7と14を読むことをお勧めします。

$3\sqrt{n}$ $\frac{9\sqrt{n}}{2}$ $3$ $3^{\frac{9\sqrt{n}}{2}}\textrm{poly}(n)<141^{\sqrt{n}}$

$3$ $2^{\Omega(\sqrt{n})}$ $3$ $3$ $3$ $2^{o(\sqrt{n})}$

— アレックス・ゴロフネフ
ソース

平面グラフの多項式時間で正確な分岐分解を見つけることができます。これは、シーモアとトーマスの論文による：コールルーティングとラットキャッチャー。したがって、指数から係数3を削除できます。

— Saeed

@Saeed、平面グラフのブランチ幅がによって上限があることも知っていますか

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$