有界次数グラフ上の分数色数の近似の硬度

有界次数グラフで分数の彩色数を概算することはapx困難ですか？

はい。

私が正しく理解した場合、Khot（2001）の定理1.6の証明により、十分に高い次数の有界次数グラフに焦点を当てても、次の2つのケースを区別することはNP困難であることがわかります。

1. カラーリングがあります。$k$
2. 独立セットの最大サイズに対する頂点の数の比率は、少なくともです。$k^{\log(k)/25}$

分数クロマティック数の観点から、これらの2つのケースは次のとおりです。

1. 分数色度数は最大でです。$k$
2. 分数色度数は少なくともです。$k^{\log(k)/25}$

ここで、（関数として）十分に高い次数が必要であることを覚えておく必要があります。しかし、私が見る限り、証明には、たとえば、次の便利な結果があり、すでに目的に十分である可能性があります。$k$

• 任意の一定の与えられた、定数であるΔ及びcは NP困難で、その結果、次のような問題：グラフ所与G最大度のΔは、分数の色数かどうかを決定するGが最大であるC又は少なくともα C。$\alpha$$\Delta$$c$$G$$\Delta$$G$$c$$\alpha c$

もちろんこれは、P = NPでない限り、PTASがないことをすでに意味しています。