グラフのc-彩色数の貪欲な色（リストの色）はどれほど悪いのでしょうか

c-彩色数は、グラフのコグラフへのパーティション分割で定義されています。各カラークラスがcographになるように、頂点のカラーリングに使用されるカラーの最小数を要求します。CographはP4フリーのグラフです。つまり、長さ3の誘導経路はありません。

紙は、としてCクロマチック数意味、その証明証明をするために使用することができる4ページ備考12を任意の色を、多項式時間で最大で色の色に変換します。$c(G)$⌈1+$c(G)\le \lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$ $\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$

古典的なグラフの色付け、つまり色数の研究では、貪欲な色付けが議論されました。貪欲なカラーリングのパフォーマンスは、頂点の順序によって決まります。最悪の場合、グラフには色が必要ですが、です。これは、貪欲なカラーリングの近似比が恣意的に悪いことを意味します。| V $\chi(G)$ χ（G）=$\frac{|V|}{2}$$\chi(G)=2$

同様に、グラフをコグラフに着色する場合、貪欲な着色を使用できます。頂点の順序を指定して、各頂点に最小の色でラベルを付け（色が1、2、3、...とラベル付けされていると想定）、各色クラスがコグラフになるようにします。

私の質問は：

1. コグラフの色付けに対する貪欲な色付けの最悪の動作は何ですか？
2. 貪欲な色付けには色よりも多くの色が必要なのでしょうか？$\lceil \frac{1+\Delta}{2} \rceil$

いい質問だ。次の構成を考えてみましょう。ビルドP3は、1-2-3 4-5-6 7-8-9のように番号が付けられ、注文されます。今度は、1-2-3はすべて貪欲なスキームでカラーRを取得します。4,5,6をすべて3に隣接させます。次に、4,5,6はそれぞれカラーBになります。頂点7、8、9を3および6に隣接させると、RまたはBのカラーを取得できません。 Y.

10-11-12に進み、10、11、12を3、6、9に隣接させます。RBYで色付けできないため、Gを取得します。

これらの3k頂点にはk = n / 3色が必要です。ただし、セット{3,6,9,12、etc}はクリークを誘発し、残りのグラフは完全なマッチングを誘発するため、c（G）は2であることに注意してください。したがって、これは貪欲なカラーリングがコグラフのカラーリングにとっても任意に悪い場合があることを示しています。

この構造を変更して、最大次数を削減することもできます。4、5、6は3に隣接していますが、7、8、9は6に隣接していますが、3ではなく1に隣接しています。次に、10を作成します。 11、12、9、4（6ではなく）、および3に隣接します。また、将来のトリプレットについては、前のP3のどの頂点に結合するかを交互に維持します。結果のグラフはおそらく2つのコグラフに分割できなくなりますが、2、5、8、11などが独立したセットを形成し、残りはさらに2つのコグラフでカバー可能であることを確認してください。しかし、これは重要ではないと思います...ここで重要なのは、貪欲な色付けがより多くの色を使用できるように最大次数が低いことです（2番目の質問に答えるため）。 ）$\frac{1+\Delta}{2}$

もう1つの興味深い質問は、「スマートな」貪欲なカラーリング（LexBFSなど）が一定比率の近似を生成するかどうかです。