すべての独立セットの色数を最小化するグラフの色付け

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次の主張は知られていますか？

クレームは：任意のグラフについてはとの頂点の着色存在毎に独立したセットはせいぜいによって着色されるように $G$ $n$ $G$ 色。 $O(\sqrt{n})$

reference-request graph-colouring

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次の項は私に知られており、それは未公開であるため、カウントされないことがあります上の任意のグラフ頂点がそうに着色することができる任意の誘導された部分グラフ高々波長数の最大で使用色、。 $n$ $H$ $k$ $\chi(H)+B$ $B(B+1)\leq 2kn$

これは帰納法による証明です。動機は、グラフ上だけでなく、誘導されたすべてのサブグラフ上でもほとんど色を使用しないカラーリングを検討することでした。ただし、公開された結果は知りません。

— アラビンド
ソース

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求めるものではありませんが、下限は次のとおりです。グラフを着色すると、着色された独立したセットになります色： $\sqrt{n}$

取るコピー $\sqrt{n}$ 、すべての頂点を単一の頂点接続します。 $K_{\sqrt{n}}$ $s$

明らかに、すべてのセット異なるからの個の頂点は独立しており、すべてのコピーで $\sqrt{n}$ $K$ 少なくとも1つの「新しい」色を見つけることができます。 $K_{\sqrt{n}}$

この下限は簡単にに改善できますまたは私たちが接続した場合単一の頂点に、しかしそれは $\sqrt{2n}$ $K_1,K_2,..$ 色。 $\Omega(\sqrt{n})$

— RB
ソース

2番目の例は、境界を改善しないようです。私は、任意のISを使用して着色することができると思い

。たとえば、n = 9の場合、

は青、

は緑と赤、

は青、緑、赤で色付けされます。最大ISは、3ではなく2色で色付けされます。

2 \sqrt{2 n} / 3

$2\sqrt{2n}/3$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— user1566914

どういう意味かわかりません。2番目の例は範囲を改善しますが、漸近的ではありません。あなたは〜構築できる

の頂点、異なる色の

の頂点などを使用した

サイズのカラフルなIS（

から、まだISに存在しない色で色付けされた頂点を取得します）。そして、これは

すべての色に当てはまります。

2 \sqrt{n}

$2\sqrt n$

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{i}

$K_i$

G

$G$

— RB 14

また、あなたの例では、

からの青の頂点、

からの緑、

からの赤を含むISは3色で色付けされています。

K_{1}

$K_1$

K_{2}

$K_2$

K_{3}

$K_3$

— RB 14

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@RBの例に感謝します。あなたの2番目のグラフは、下限おおよそ与え

、これは

です。

t \approx \sqrt{2 n}

$t \approx \sqrt{2n}$

1 + 2 + \dots + t = n

$1+2+\dots + t = n$

— イゴールシンカー14

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次の証明はどうですか？もし、それからクレームは明らかに成り立ちます。逆考えて、最大カーディナリティー独立したセットとします。色色1、再帰的色付きグラフ色を有する。ここで、が独立したセットである場合、考慮します。帰納仮説により、は最大で着色されます。 $\alpha(G) \leq \sqrt{n}$ $I$ $G$ $\alpha$ $I$ $G - I$ $2,...,c$ $K$ $G$ $K' = K - I$ $K'$ こうして色、およびで着色された高々 $\sqrt{n-\alpha}$ $K$ 色; 不平等は仮定ことによって成り立つ $1+\sqrt{n-\alpha} \leq \sqrt{n}$ 。 $\alpha \geq \sqrt{n}$

— Super8
ソース

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1 + \sqrt{n - \sqrt{n}} > \sqrt{n}

$1+\sqrt{n-\sqrt{n}}>\sqrt{n}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

(1 + ϵ) \sqrt{n} + C_{ϵ}

$(1+\epsilon)\sqrt{n}+C_\epsilon$

1

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

2 \sqrt{n}

$2 \sqrt{n}$

（プロファイルマージリクエスト上）メタはそのようなリクエストを投稿するのに適した場所です。

— スレシュヴェンカト