最大独立集合の約束された上限を伴う近似グラフ彩色

私の仕事では、次の問題が発生します。

順序65の独立したセットなしでグラフの色数を近似する既知のアルゴリズムはありますか？（したがって、alpha（G）<= 64が既知であり、| V | / 64は自明な下限、| V |は自明な上限です。しかし、この特別な条件下でより良い証明された近似はありますか？）

分数の色数までリラックスしたらどうなりますか？そして、平均的なケースで「良い」実行時間に？

— cyrix42
ソース

これはこのサイトにとって素晴らしい質問だと思います。誰かが良い答えを持っていることを望みましょう。

— ユッカスオメラ

@TysonWilliams：質問は完全に明確だと思います。コメントを忘れて、質問を読み直してください。:)

— ユッカスオメラ

面白いことに、この条件は、自明な近似が最適な64近似であることを保証します。小さな独立数の約束だけで、より良いアルゴリズムが得られるのだろうか。

— サショニコロフ

問題は実際のアプリケーションによって動機付けられていますか？もしそうなら、うまくいくであろう興味深い発見的手法に焦点を当てるべきです-些細な64近似を改善することはそれほど面白くないです。

— チャンドラチェクリ

ところで、分数色数の適切な近似値をすばやく見つけたい場合は、最大重みの独立集合の適切な近似値をすばやく見つければ十分です。したがって、これは新しい質問を示唆します：最大の独立セットのサイズが64であることがわかっている場合、自明な

時間アルゴリズムよりもはるかに速く最大重量の独立セットの適切な近似を見つけるアルゴリズムはありますか？

O (n^{64})

$O(n^{64})$

— ユッカスオメラ

回答:

入力グラフの補数の最大一致を計算します。一致しないノードはすべて、カラーリングで異なるカラークラスに属している必要があります。したがって、少なくともcn個の一致したエッジが得られた場合、一致自体により、上限が（1-c）nで、近似比が64（1-c）のカラーリングが得られます。少なくともcnエッジを取得しない場合、（1-2c）n色の下限と1 /（1-2c）の近似比を取得します。方程式64（1-c）= 1 /（1-2c）を解くと、近似比は32よりわずかに大きくなります。正確な値については、Sasho Nikolovのコメントを参照してください。

— デビッド・エップスタイン
ソース

小さな補正：最初の場合、上限は（1-c）nであり、下限はn / 64であるため、おおよその比率は（1-c）64です。あなたが解決すると（1-C）64 = 1 /（1-2C）、あなたが得る

と近似比

。アッパーの結合所与のように思える

用の

、この方法は、に行く近似比が得られる

c = 3 / 16 (4 - \sqrt{2}) \approx 0.5

$c = 3/16 (4-\sqrt{2}) \approx 0.5$

\approx 32

$\approx 32$

k

$k$

α (G)

$\alpha(G)$

として

無限大になります。

\frac{k}{2}

$\frac{k}{2}$

k

$k$

— サショニコロフ

$H$ $H$

http://en.wikipedia.org/wiki/Colouring_number#Algorithms

— アンドリュー・D・キング
ソース

軽微な修正：貪欲な色付けの中で、色付けの数が色の最小数に等しいというのは正しくありません。最適なカラーリングの色に従って頂点を並べると（最初のカラークラスが最大で、残りのグラフなどで2番目のカラークラスが最大になるという追加のプロパティを使用）、貪欲アルゴリズムは同じ最適なカラーリングを見つけます。

— デビッドエップシュタイン