リラックスしたカウントはいつ難しいですか？

次のように我々は加重着色料をカウントすることにより、適切な着色料を数えるの問題を緩和と仮定します。すべての適切な着色は体重1取得し、すべての不正発色が体重取得、いくつかの定数であり、同じ色に着色されているエンドポイントとエッジの数です。 0になり、これは、多くのグラフのために懸命にある適切な着色料を数えるに低減します。cが1の場合、すべての色は同じ重みを取得し、問題は簡単です。を乗算したグラフの隣接行列のスペクトル半径が未満の場合$c^v$$c$$v$$c$$-\log(c)/2$$1-\epsilon$、この合計は収束保証付きの信念伝播によって近似できるため、実際には簡単です。特定の計算ツリーは相関の減衰を示し、したがって保証された近似のための多項式時間アルゴリズムを可能にするため、理論的にも簡単です-Tetali、（2007）

私の質問は、グラフの他のどのような特性がローカルアルゴリズムにとってこの問題を難しくしているのでしょうか？わずかな範囲のしか対処できないという意味で難しい。$c$

編集09/23：これまでのところ、このクラスの問題に対して2つの決定論的多項式近似アルゴリズム（WeitzのSTOC2006論文の派生物と、近似計算のためのGamarnikの「キャビティ拡張」アプローチの派生物）に遭遇しました。グラフ上を歩くことを避けます。スペクトル半径は、この分岐係数の上限であるために上がります。質問はそれです-それは良い見積もりですか？自己回避歩行の分岐因子が制限され、通常の歩行の分岐因子が制限なく成長する一連のグラフを作成できますか？

編集 10/06 ：Allan Slyによるこの論文（FOCS 2010）は関連性があるようです...結果は、自己回避歩行の無限ツリーの分岐因子が、カウントが困難になるポイントを正確にキャプチャすることを示唆しています。

編集10/31：アラン・ソカル予想（「多変量トゥッテ多項式」のp.42）は、maxmaxflow（最大st flow over）に関して線形である色彩多項式のゼロのない領域の半径に上限があることすべてのペアs、t）。適切な色の数が0に近づくと、長距離の相関関係が現れるため、これは関連しているようです。

これは、少なくとも6色以上の平面グラフでは困難です。GoldbergとJerrumによる「平面グラフのTutte多項式の非近似性」を参照してください 。

いくつかのコメント：

カウント用のローカルアルゴリズムは、各統計がノードのグラフ近傍の関数であるノードごとの統計のセットからカウントを計算します。色付けの場合、これらの統計は「色cに遭遇する限界確率」に関連しています。ここだ例簡単なグラフのためのこの減少の。

Alan Slyの最近の論文から、ローカルアルゴリズムを使用した独立セットのカウントは、任意のアルゴリズムを使用した独立セットのカウントと同じくらい難しいことがわかります。これがグラフの一般的なカウントに当てはまるという私の疑い。

ローカルアルゴリズムの場合、硬さは、ノード間の距離に対するノード間の相関関係の動作に依存します。十分に長い距離の場合、この相関には基本的に2つの動作しかありません。相関はグラフ距離で指数関数的に減衰するか、まったく減衰しません。

指数関数的な減衰がある場合、ローカル統計はグラフのサイズが多項式サイズである近傍に依存するため、カウントの問題は簡単です。

統計物理モデルでは、自己回避歩行、相関減衰、および相転移の間に関連性があることが指摘されています（すなわち、de Gennes、Emery）。格子上の自己回避歩行の生成関数が無限になる点は、モデルに長距離相関が現れる温度に対応します。

Weitzの自己回避ウォークツリーの構造から、なぜ自己回避ウォークが相関減衰で現れるのかを見ることができます。十分に小さく、木の葉は最終的に無関係になります。

「局所硬度」が硬度を意味する場合、自己回避歩行の成長速度を決定する特性を定量化するのに十分です。正確な成長率は、自己回避歩行の生成関数から抽出できますが、計算するのは困難です。スペクトル半径は計算が簡単で、下限があります。

いくつかのコメント：答えではありません。

がグラフ内の頂点の数に対して十分に小さい場合、不適切なカラーリングは1未満になります。したがって、weight-0の場合からこの場合への自明な減少があります。単純にを小さく選択します十分な。これは、持つインスタンスのコレクションに対して、に対して、問題が＃P-hardであることを意味します。（ここでは、インスタンスごとにを変えることができるため、クラスはが固定されたクラスの和集合です。）$c$$c$$c \in [0,\epsilon)$$\epsilon > 0$$c$$c$

ここで、問題のセットアップのように、が本当に修正されたとします。次に、十分に大きなグラフの場合、不適切な色付けに対して1の加重合計を超えることが常に可能であるため、この直接の削減は機能しません。$c$

問題を厳しくすることができるグラフのクラスの構造的特性を求めています。私が知る限り、それはほとんど常に難しいでしょう。しかし、これは非常に大雑把であり、さらに作業が必要です。