グラフの選択可能性を下限にするには、いくつの異なる色が必要ですか？

頂点を色のセットにマッピングするすべての関数、すべての頂点に対してような色割り当てがある場合、グラフは選択可能（ -list- colorableとも呼ばれます）です。、すべてのエッジに対して。 $k$ $k$ $f$ $k$ $c$ $v$ $c(v)\in f(v)$ $vw$ $c(v)\ne c(w)$

ここで、グラフが選択できないと仮定します。つまり、頂点から有効な色の割り当てを持たない個の色のタプルまでの関数が存在します。私が知りたいのは、必要な色の合計はどれくらいですか？どれくらい小さくできますか？異なる色のみを使用する色付け不可能なを見つけることが保証されるような数（依存しないますか？ $G$ $k$ $f$ $k$ $c$ $\cup_{v\in G}f(v)$ $N(k)$ $G$ $f$ $N(k)$

CSとの関連性があれば、つまり存在し、我々がテストすることができる定数の-choosability単独指数時間（ちょうどすべての試みをの選択肢、及びそれぞれについて、時間内に色付けできることをチェックします）。そうでなければ、ようなより急速に成長するものが必要になるかもしれません。 $N(k)$ $k$ $k$ $\binom{N(k)}{k}^n$ $f$ $k^n n^{O(1)}$ $n^{kn}$

— デビッド・エップスタイン
ソース

N（k）> 2k-1の場合の例はありますか？

— ヤロスラフブラトフ

私の最初の考えは、2部グラフが任意の高さのリストクロマティック数を持つことができるという標準的な例で必要な色の数の下限を試みることです。ただし、この構成のリスト内の色の数は、達成された

指数関数的

k

$k$ です。ただし、下限を証明するのに十分な時間はかかりませんでした（したがって、これは答えではありません...）。

— デリックストリー

それはあまりにもMathOverflow上でこの素晴らしい質問...価値が掲載される可能性があります

— フランソワ・G. Dorais

ここでCorollary 1.4に

k = 1

$k=1$ を設定すると、質問の少なくとも一部に答えますか？

— アーロンスターリング

@Aaron：どういう意味かわかりません。その結果にk = 1を設定すると、選択番号は最大でも色数に対数係数を掛けたものになります。しかし、その選択番号にいくつの異なる色が必要かについてはあまり言っていないようです。

— デビッドエップスタイン

回答:

DanielKrálとJiříSgallはあなたの質問に否定的に答えました。彼らの論文の要約から：

グラフあると言われているその頂点が任意列挙するから着色することができる場合-choosableで、すべての、および。それぞれについて、我々は、グラフ構築物である -choosableなく -choosableを。 $G$ $(k,\ell)$ $L(v)$ $|L(v)| \ge k$ $v\in V(G)$ $|\bigcup_{v\in V(G)} L(v)| \le \ell$ $3 \le k \le \ell$ $G$ $(k,\ell)$ $(k,\ell+1)$

したがって、場合、は存在しません。KrálとSgallもことを示しています。もちろん、です。 $N(k)$ $k\ge 3$ $N(2)=4$ $N(1)=1$

DanielKrál、JiříSgall：結合のサイズに制限があるリストからグラフを着色する。Journal of Graph Theory 49（3）：177-186（2005）

— サージガスパー
ソース

ワオ。否定的ではありますが、これで問題は解決します。@Sergeに感謝します！そして、ダニエルとジージーにも感謝したいと思います！

— Hsien-Chih Chang張顯之

また、質問に対する肯定的な回答を希望していました。

— セルジュガスパーズ

少し恥ずかしい自己宣伝として、Marthe Bonamyと私はより否定的な答えを見つけました。特に、http： //arxiv.org/abs/1507.03495の定理4は、特定の場合に前述のKrál 'とSgallの結果を改善しています。使用する例は、完全な2部グラフであり、いくつかの極端な組み合わせを使用してそれらを分析します。

このTCSオーバーフローの質問が原因の一部です。

— RJK
ソース