硬度の相転移の例

一部の値p_0、p_1について、場合は「簡単に」、p = p_1の場合は「難しい」実数値パラメーターpでパラメーター化された問題があるとします。$p=p_0$$p=p_1$$p_0$$p_1$

1つの例は、グラフのスピン構成をカウントすることです。重み付きの適切なカラーリング、独立したセットを数えるオイラー部分グラフは、ハードコアモデル、ポッツモデル、およびイジングモデルのパーティション関数にそれぞれ対応します。単純なMCMCの場合、硬度の相転移は、混合時間が多項式から指数関数にジャンプするポイントに対応します（Martineli、2006）。

別の例は、確率モデルの推論です。与えられたモデルを、組み合わせと「すべての変数は独立している」モデルとすることにより、「単純化」します。以下のためにの問題はため、自明である、それはどこかの間では難治性であり、硬度のしきい値嘘。最も一般的な推論方法では、この方法が収束に失敗すると問題が難しくなり、発生するポイントは特定のギブス分布の位相遷移（物理的な意味）に対応します（Tatikonda、2002）。$1-p$$p$$p=1$$p=0$

連続パラメータが変化する際の硬度の「ジャンプ」の他の興味深い例は何ですか？

動機：グラフタイプまたはロジックタイプ以外の硬度の別の「次元」の例を見る

標準的な最悪の場合の近似では、近似係数が変化するため、多くの鋭いしきい値があります。

たとえば、3つの変数についてそれぞれ与えられたブール線形方程式を満たしている3LINの場合、近似1/2の単純なランダム割り当て近似アルゴリズムがありますが、一部のt = 1/2 + o（1）よりも優れた近似は既にあります正確なSATと同じくらい難しい（指数関数的な時間を必要とすると推測される）。

これがあなたが探していたタイプの問題であるかどうかは正確にはわかりませんが、NP-Complete問題の相転移は（今のところ）よく知られている現象です。このテーマに関する人気のある記事については、3-SAT相転移に関するBrian Hayesの記事「満足が得られない」およびNumber Partition Phase転移に関する「最も簡単なハード問題」を参照してください。

セルマンとカークパトリックは、3-SATの相転移が、変数に対する節の比率が4.3付近にあることを数値的に示した最初のものでした。

ゲントとウォルシュは、ビットとリストの長さの比が約1のときに数値分割問題の相転移が起こることを最初に数値で示しました。その後、これはBorgs、ChayesおよびPittelによって分析的に証明されました。

巡回セールスマン、グラフ彩色、ハミルトニアンサイクルなども、問題インスタンス作成の適切なパラメーター化のための相転移があるようです。NP完全問題はすべて、適切なパラメーター化のための相転移を示すというのが一般的に信じられている信念だと言っても安全だと思います。

量子計算の（一部の）ノイズモデルに関連するのは、ノイズレベルのしきい値です。これを超えると、ノイズ計算ゲートがCliffordゲートによってシミュレートされ、量子計算プロセスが効率的にシミュレートできるようになります。まず、PlenioとVirmani、ノイズの多い Cli ff ordベースの量子コンピューターのフォールトトレランスしきい値の上限（arXiv：0810.4340v1）を参照してください。

このような解けるモデルは、ユビキタスの実用的な問題に関して私たちに知らせます：サーマルリザーバー（おそらくゼロ温度）と接触している特定の物理量子システムの場合、そのサーマルリザーバーに関連付けられたノイズレベルは、古典的なリソース？後者の場合、どのシミュレーションアルゴリズムが最適ですか？

相転移の特に顕著な例は、Exactly- -SAT（X SAT）の最大次数境界です。各節には正確に異なるリテラルが含まれます。問題は、関連するパラメーターに1を追加することにより、簡単に（常に満足できる）簡単なものからNP完全なものに変わります。k $k$$k$$k$

ましょう任意のXような最大数表す任意の変数がせいぜいで発生したSATインスタンス節が充足可能であることが保証されます。各変数が1つの句でのみ発生する場合、インスタンスは簡単に満たされます（各変数を、対応するリテラルをtrueにする値に設定するだけです）。一方、同じ変数のすべての句のコレクションは満足できません。したがって、ます。K F （K ）2 K、K 1 ≤ F （K ）< 2 $f(k)$$k$$f(k)$$2^k$$k$$1 \le f(k) < 2^k$

X SATインスタンスには、特定のビットのサブメッセージを回避するビットのメッセージが存在するかどうかを尋ねるという自然な（非論理的な）意味があります。また、自然な方法でパラメーターをに再スケーリングすることもできます。これにより、0から1までの区間で実数値を取ります。n k f （k ）/ 2 $k$$n$$k$$f(k)/2^k$

変数が最大で回発生する可能性のあるインスタンスはすべて自明です。ただし、変数が最大で回発生する可能性のあるインスタンスのクラスは、すでにNP完全です。f （k ）+ $f(k)$$f(k)+1$

• JanKratochvíl、PetrSavický、Zsolt Tuza、変数のもう1つの出現により、充足可能性が自明なものからNP-Completeにジャンプする、SIAM J. Comput。22（1）203–210、1993。doi：10.1137 / 0222015

また、非常に厳密な境界が知られていることも興味深いです。上記の論文はLovászLocal Lemmaから下限を導き出し、最近では上限について不満足なインスタンスが明示的に構築されています。つまり、です。f （k ）= Θ （2 k / k $f(k)$$f(k) = \Theta(2^k/k)$

• ハイジゲバウアー、SATへの影響を伴う近隣推測の証明、Combinatorica 32（5）573–587、2012。doi：10.1007 / s00493-012-2679-y （プレプリント）
• ハイディ・ゲバウアー、ティボール・サボ、ガボール・タルドス、地元の補題はSAT、SODA 2011に厳しい。