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解の数を数えるのはどれほど難しいですか？

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スパニングツリーの数を高速にカウントする
t(G)t(G)t(G)GGGnnnt(G)t(G)t(G)O(n3)O(n3)O(n^3)QG1n2det(J+Q)1n2det(J+Q)\frac{1}{n^2} \det(J + Q)QQQGGG1JJJ111 t(G)t(G)t(G)より高速に計算する方法があるのだろうか。（はい、行列式の計算にはO(n3)O(n3)O(n^3)アルゴリズムよりも高速ですが、新しいアプローチに興味があります。） また、グラフの特別なファミリ（平面、多分？）を検討することにも関心があります。 たとえば、循環グラフの場合、t(G)t(G)t(G)はO(nlgn)O(nlg⁡n)O(n \lg n)算術演算で恒等t（G）= \ frac {1} {n} \ lambda_1 \ dotsm \ lambda_ {n-1を介して計算できます。}t(G)=1nλ1⋯λn−1t(G)=1nλ1⋯λn−1t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}、ここでλiλi\lambda_iはGのラプラシアン行列の非ゼロの固有値でありGGG、巡回グラフですばやく計算できます。（最初の行を多項式として表し、それを単位のnnn番目の根で計算します。このステップは離散フーリエ変換を使用し、O(nlgn)O(nlg⁡n)O(n \lg n)算術演算で実行できます。） どうもありがとうございました！
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無向グラフの単純なパスの数を数える
無向グラフ内の一意の単純なパスの数を決定するにはどうすればよいですか？特定の長さ、または許容される長さの範囲のいずれか。 単純なパスはサイクルのないパスであることを思い出してください。したがって、サイクルのないパスの数を数えることについて話しているのです。
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ランダム2-SATのカウントの複雑さは何ですか？
＃2-SATのランダムインスタンスの複雑さが句の密度によってどのように変化するかについて、何か作業が行われましたか？つまり、節の密度が変わると、2-SATのランダムに生成されたインスタンスに対する満足のいく解を数えることの難しさはどのように変わりますか？特に、重大なしきい値に関連する厳密な結果はありますか？ もちろん、ため 2-SAT ∈ P、典型的な計数の複雑さは、インスタンスが充足している確率に部分的に依存します。句密度がSAT / UNSATの臨界しきい値を超えるインスタンスは、通常、制限n答えがほぼ確実に「ゼロ」であるため、カウントの複雑さが簡単になります。ただし、有限のnの臨界しきい値に近い、またはそのすぐ上の密度を持つ2-SATのインスタンスの場合、カウントの複雑さは依然として簡単です。満足できるインスタンスには、少数の解しかなく、制約の厳しさのために列挙する。 → ∞→∞\to \infty 以下のためのK -SATとK ≥3は、インスタンスが充足又は充足不能であるかどうかを決定することの難しさが 存在するかどうかを決定するための1つの試みとして、部分的には、UNSAT相からSAT相を分離臨界しきい値の近くに最高であると思われる少なくとも一つで満足できるソリューション。ため＃2-SAT、困難ができない少なくとも一つの解決策が存在するかどうかを決定するにあります。したがって、重要ではあるが大きくはない充足可能な式の解の数を決定することは困難であると予想されるはずです。 制約の数—つまり、変数間に重要な依存関係を引き起こすのに十分な制約がありますが、可能な割り当てを過剰に決定するほど多くはありません。
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＃2-SATの＃P-completeサブファミリーとは何ですか？
短縮版。 ＃2-SATが#P -completeであるという元の証拠は、実際には、単調（変数の否定を含まない）であり、2部（その上の節によって形成されるグラフ）である＃2-SATのインスタンスを示します変数は2部グラフです）は#P -hardです。したがって、＃2-MONOTONE-SATと＃2-BIPARTITE-SATの2つの特別なケースは#P -hardです。フォーミュラの「自然な」特性の面で特徴づけられる特別なケースは他にもありますか？# P-ハードですか？ ロングバージョン。 問題＃2-SATは、計算のタスクです。いくつかの節の結合で構成されるブール式場合、各節は2つのリテラルまたは選言です—ブール文字列の数よう。そのようなが存在するかどうかを調べるのは簡単です。しかし、「列挙と信頼性の問題の複雑さ」のValiant 、SIAM J. Comput。、8、pp。410–421に示されているように、一般にソリューションの数を数えることは#P 完全です。ϕϕ\phixjxjx_jx¯jx¯j\bar x_jx∈{0,1}nx∈{0,1}nx \in \{0,1\}^nϕ(x)=1ϕ(x)=1\phi(x) = 1xxx 特に＃2-SATの場合、Valiantが実際に示すのは、2部グラフでマッチング（不完全なものを含む）をカウントすることで＃2-SATが減少し、非常に特殊な構造を持つ＃2-SATのインスタンスが生成されることです。 、 次のように。 まず、単調な問題は、置換によって、各変数に対してが式または発生するが、両方ではないという問題に等しいことに注意してください。特に、すべての変数に対して否定のみが発生する「単調減少」問題は、単調の場合とまったく同じくらい困難です。xjxjx_jxjxjx_jϕϕ\phix¯jx¯j\bar x_jx¯jx¯j\bar x_j グラフでエッジを使用する場合、変数を各エッジに割り当てることにより、マッチング（頂点を共有しないエッジのコレクション）に対応する単調減少2-SAT式を構築できます。エッジセットに含まれています。セットのプロパティマッチングであるが、入射ベクトルに相当し、X = χ M CNF式を満たすφ節で与えられるが（ˉ X E ∨ ˉ X F）エッジのすべての対について、E 、F ∈M X E M ⊆ EG=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)mmmxexex_eM⊆EM⊆EM \subseteq Ex=χMx=χM\mathbf x = \chi_Mϕϕ\phi(x¯e∨x¯f)(x¯e∨x¯f)(\bar x_e \vee …
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一般的なグラフで単純な
指定された開始頂点から指定された終了頂点tまでの有向グラフの単純なパスの数を近似するためのいくつかの良い多項式時間アルゴリズムがあると言われました。誰もがこの主題に関する良い参考資料を知っていますか？sssttt 背景：一般的なグラフでパスの正確な数を数えることは#P完全ですが、問題の多項式時間近似が存在する場合があります。特にランダム近似に興味があります。 前もって感謝します。
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有向グラフで単純なパスをカウントする複雑さ
レッツGGG有向グラフ（必ずしもDAG）こととしましょうS 、T ∈ V（G ）s、t∈V（G）s,t \in V(G)。Gの単純な s − ts−ts-tパスの数をカウントする複雑さは何ですか。 GGG 問題は＃PP{\mathsf P} -completeになりますが、正確な参照を見つけることができませんでした。 また、通知が同様の質問の数が正しくここに、他の場所ではなく、この正確な質問回答されていることを-私はカウントに興味がありません強調してバリアントがである最初のケースで（および/または無向グラフ歩くPP{\mathsf P}と他の＃PP{\mathsf P} -hard）。
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グラフのエッジカバーの数をカウントする複雑さ
エッジカバーは、グラフのすべての頂点がカバーの少なくとも一方の縁部に隣接するようにグラフのエッジのサブセットです。次の2つの論文は、そのカウントエッジカバーがあると言う#P -complete：エッジカバーカウントするためのシンプルFPTASとパスのグラフの生成エッジカバーを。しかし、私が何かを見逃していない限り、彼らはこの主張の参照や証拠を提供しません。（最初の論文の参考文献3は有望であるように見えたが、私はそこに私が望むものも見つけられなかった。） グラフのエッジカバーの数を数えることは＃P-completeであるという事実の参照または証拠をどこで見つけることができますか？
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非負整数の線形ディオファンチン方程式
非負の整数で線形ディオファントス方程式を解くNP完全問題について見つけることができる情報はほとんどありません。つまり、すべての定数が正である方程式非負のに解がありますか？私が知っているこの問題の注目に値する唯一の言及は、シュライバーの線形および整数計画法の理論です。そしてそれでも、それはかなり簡潔な議論です。x1,x2,...,xnx1,x2,...,xnx_1,x_2, ... , x_na1x1+a2x2+...+anxn=ba1x1+a2x2+...+anxn=ba_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = b ですから、この問題に関してあなたが提供できる情報や参考文献を大いに感謝します。 私が最も気にしている質問は2つあります。 それは強くNP完全ですか？ ソリューションの数をカウントする関連問題は、＃P-hard、または＃P-completeですか？
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頂点ラベリングの「ローカル」関数を結合するためのグラフ分解
私たちが見つけたいとし ∑バツ∏I J ∈ Ef（x私、xj）∑バツ∏私j∈Ef（バツ私、バツj）\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j) または 最大バツ∏I J ∈ Ef（x私、xj）最大バツ∏私j∈Ef（バツ私、バツj）\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j) Vのすべてのラベル付けでmaxまたはsumが取られる場合VVV、積はグラフG = \ {V、E \}のすべてのエッジEEEで取られ、fは任意の関数です。この量は、有界ツリー幅グラフでは簡単に、一般的に平面グラフではNP困難です。適切な色の数、最大独立集合、およびオイラー部分グラフの数は、上記の問題の特別な例です。この種の問題、特に平面グラフの多項式時間近似スキームに興味があります。どのグラフ分解が有用でしょうか？G = { V、E}G={V、E}G=\{V,E\}fff 編集11/1：例として、統計物理学のクラスター展開（つまり、マイヤー展開）に類似するかもしれない分解について疑問に思っています。fffが弱い相互作用を表す場合、そのような展開は収束します。つまり、グラフのサイズに関係なく、展開のkkk項で所定の精度を達成できます。これは、量に対するPTASの存在を意味しませんか？ 2011年2月11日更新 高温膨張は、高次の項が高次の相互作用に依存する項の合計としてパーティション関数ZZZを書き換えます。「相関が減衰する」場合、高次の項は十分に速く減衰するため、ZZZの質量のほぼすべてが有限数の低次の項に含まれます。 たとえば、イジングモデルの場合、次のパーティション関数の式を考慮してください。 Z= ∑X ∈ XexpJ∑I J ∈ Eバツ私バツj= c ∑A ∈ C（タンJ）| A |Z=∑バツ∈バツexp⁡J∑私j∈Eバツ私バツj=c∑A∈C（タン⁡J）|A|Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i …
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立方体ハミルトニアングラフのハミルトニアンサイクルの数を数えますか？
3次ハミルトニアングラフの最長サイクルの定数因子近似を見つけるのは困難です。3次ハミルトニアングラフには、少なくとも2つのハミルトニアンサイクルがあります。NPNPNP 立方体ハミルトニアングラフのハミルトニアンサイクル数の最もよく知られている上限と下限は何ですか？立方体のハミルトニアングラフが与えられた場合、ハミルトニアンサイクルの数を見つけることの複雑さは何ですか？それは＃である -hard？PPP
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ポリトープのグラフの頂点の隣接を効率的に均一にサンプリングできますか？
定義されたポリトープがあります。PPP{x:Ax≤b,x≥0}{x:Ax≤b,x≥0}\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\} 質問：頂点を考えるとの、の隣人から均一試料への多項式時間アルゴリズムが存在しのグラフにおける？（次元の多項式、方程式の数、およびの表現。方程式の数は次元の多項式であると仮定できます。）vvvPPPvvvPPPbbb 更新：これはNP困難であることを示すことができたと思います。議論を説明する私の答えを見てください。（そして -hard によって、多項式時間アルゴリズムがを証明することを意味します...ここで正しい用語が何であるかはわかりません。）NPNPNPRP=NPRP=NPRP = NP 更新2：硬度の2行の証明があり（適切な組み合わせポリトープが与えられた）、私はKhachiyanによる記事を見つけることができました。説明とリンクについては回答をご覧ください。:-DNPNPNP 同等の問題： コメントで、Peter Shorは、この問題は、特定のポリトープの頂点から均一にサンプリングできるかどうかという問題と同等であると指摘しました。（私は同値はこのように書き思う：一つの方向では、我々は、ポリトープから行くことができます頂点との頂点フィギュアに、、との頂点サンプリングP / Vは、の隣人をサンプリングと同等ですv on P。他の方向では、頂点vとベースPを持つ円錐を追加することにより、ポリトープPから1つの高次元のポリトープQに移動できます。PPPvvvvvvP/vP/vP/vP/vP/vP/vvvvPPPPPPQQQvvvPPP。その後の隣人サンプリングvvvにおけるQQQの頂点サンプリングと同等であるPPP。） この質問の定式化は以前に尋ねられました：https : //mathoverflow.net/questions/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope
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一様にランダムな条件を満たす割り当てのサンプリング
問題：与えられブール回路で表される、一様にランダム生成のx ∈ { 0 、1 } Nようにφ （X ）= 1（または、そのようなxが存在しない場合は⊥を出力します）。 φ ：{ 0 、1 }n→ { 0 、1 }ϕ：{0、1}n→{0、1}\phi : \{0,1\}^n \to \{0,1\}X ∈ { 0 、1 }nバツ∈{0、1}nx \in \{0,1\}^nϕ （x ）= 1ϕ（バツ）=1\phi(x)=1⊥⊥\perpバツバツx 明らかに、この問題はNP困難です。私の質問は、この問題も「NP-easy」であるかどうかです。 質問： DOESそこに時間多項式で上記の問題を解決するアルゴリズムを存在するの回路規模φは SATオラクルへのアクセス権を与えられましたか？ nnnϕϕ\phi あるいは、NP = Pを仮定した多項式時間アルゴリズムはありますか？ 明らかに#SATオラクルにアクセスできれば十分なので、NPと#Pの間のどこかに複雑さがあります。 これは以前に研究されるべきだったと思うが、Googleで答えを見つけることができない。 Valiant-Vazirani定理のバリエーションや近似カウントを使用して、問題を近似的に解決する方法（つまり、統計的に均一に近い満足のいく割り当てを生成する方法）を知っていますが、正確に均一になることは別の問題のようです。
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#Pを超え、検索の問題を数える
私は、8人の女王の問題に関するウィキペディアの記事を読んでいました。正確な解の数についての公式は知られていないと述べられています。いくつかの検索の後、「完全なマッピングのカウント問題の難易度について」という名前の論文を見つけました。このペーパーでは、最大で#queensと同じくらい難しいことが示されている問題があります。これは#Pを超えています。ウィキペディアの記事で徹底的に数えられた#queenの数を垣間見ると、彼らは非常に指数関数的に見えます。 このクラスの名前があるかどうか、または一般的に#Pを超えるクラスに属するカウントの問題があるかどうかを尋ねたいと思います（もちろんPSPACEにはないので、決定は明らかです）。 最後に、たとえばSpernerの補題で3色の点を見つける（PPAD完了）など、他の検索問題について他の既知の結果があるかどうかを確認します。
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関数のイータ等価性はHaskellのseq操作と互換性がありますか？
補題：我々はそれを持っているETA-同等と仮定すると(\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> B。 証明：⊥ = (\x -> ⊥ x)イータ等価、および(\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)ラムダの下での還元。 Haskell 2010レポートのセクション6.2では、seq2つの式で関数を指定しています。 seq :: a-> b-> b seq⊥b =⊥ seq ab = b、a≠ifの場合 その後、「seqを使用してそれらを区別できるため、notは\ x-> beと同じではありません」と主張します。 私の質問は、それは本当にの定義の結果seqですか？ 暗黙の引数は、seq計算できない場合seq (\x -> ⊥) b = ⊥です。しかし、私はそのようseqなものが計算できないことを証明することができませんでした。私にはそのようなa seqは単調で連続的であるように思われ、それは計算可能という領域にそれを置きます。 seqなどを実装するアルゴリズムは、starting で始まるドメインを列挙することxで、どこを検索しようとすることで機能する場合f x …
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Ben-Dor / Haleviのパーマネントの#P完全な証明に対する質問
ベン・ドール/ Halevi [1]の論文では、永久であるという別の証拠与えられる -completeを。ペーパーの後半部分では、削減チェーン IntPerm ∝ NoNegPerm ∝ 2PowersPerm ∝ 0 / 1-Perm を示しますが、永続的な値はチェーンに沿って保持されます。3SAT式のsatiesfying割り当ての数のでΦは永久的な値から得ることができ、最終の永久計算するのに十分である0 / 1 -マトリックスを。ここまでは順調ですね。＃P＃P\#PIntPerm ∝ NoNegPerm ∝ 2PowersPerm ∝ 0 / 1-PermIntPerm∝NoNegPerm∝2PowersPerm∝0 / 1-パーマ\begin{equation} \text{IntPerm} \propto \text{NoNegPerm} \propto \text{2PowersPerm} \propto \text{0/1-Perm} \end{equation}ΦΦ\Phi0 / 10/10/1 ただし、行列Aのパーマネントは、2部構成二重カバーGの完全一致の数、つまり行列（0 A A t 0）のグラフに等しいことはよく知られています。また、Gが平面であることが判明した場合（Kastelyensアルゴリズムを使用）、この数を効率的に計算できます。0 / 10/10/1AA\text{A}GGG（0AtA0）（0AAt0）\begin{pmatrix} 0 & \text{A} \\ \text{A}^t & …
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