立方体ハミルトニアングラフのハミルトニアンサイクルの数を数えますか？

3次ハミルトニアングラフの最長サイクルの定数因子近似を見つけるのは困難です。3次ハミルトニアングラフには、少なくとも2つのハミルトニアンサイクルがあります。$NP$

立方体ハミルトニアングラフのハミルトニアンサイクル数の最もよく知られている上限と下限は何ですか？立方体のハミルトニアングラフが与えられた場合、ハミルトニアンサイクルの数を見つけることの複雑さは何ですか？それは＃である -hard？$P$

3正規ハミルトニアングラフのハミルトニアン回路のカウントは、次のように#P完全です。

証明スケッチ。#Pのメンバーシップは簡単なので、＃P-hardnessのみを表示します。

Liśkiewicz、Ogihara and Toda [LOT03]のセクション3は、3正規（および同時に平面）グラフでハミルトニアン回路を数えることは#P完全であることを示しています。さらに、＃3SATからの削減により、満足できる3CNF式がハミルトニアングラフにマップされます。したがって、最初に特定の3CNF式に1つの自明な解を追加し、次に[LOT03]の削減を使用してハミルトニアン回路をカウントすることで、3正規ハミルトニアングラフの＃3SATをハミルトニアン回路のカウントに減らすことができます。 QED。

[LOT03] MaciejLiśkiewicz、Ogihara Mitsunori、Toda Seinosuke。2次元グリッドとハイパーキューブのサブグラフでの自己回避歩行のカウントの複雑さ。 理論計算機科学、304（1-3）：129から156、2003年7月 http://dx.doi.org/10.1016/S0304-3975(03)00080-X

$2^{3n/8}$$2^{n/3}$$2^{n/3}$$1.276^n$

$2^{n/2}$

一部のグラフには、正確に3つのハミルトニアン回路があります。

http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190060218/abstract

正確に3つのハミルトニアン回路を含む四面体の平面グラフから開始し、単一の頂点を切り捨てて新しい平面3接続グラフを作成すると、正確に3つのハミルトニアン回路を含む新しいグラフが得られます。一度に1つの頂点を切り捨て続けると、正確に3つのハミルトニアン回路を持つグラフのファミリが得られます。

追加コメント：

また、サイクル以外のどのグラフにハミルトニオン回路が1つだけあるのかという問題に関するいくつかの研究があります。

http://www3.interscience.wiley.com/journal/113386600/abstract

ハミルトニアン回路の数を扱うセクションがあり、上記の紙に関するいくつかの問題を修正する特別な種類のグラフのハムリオン回路に関する非常に素晴らしい調査論文は次のとおりです。

http://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/20/ajc-v20-p111.pdf