SATのユニークなソリューションの検証

次の問題を考えてみましょう。CNF式とこの式を満たす割り当てが与えられた場合、この式に別の満足できる割り当てがありますか？

この問題の複雑さは何ですか？（それは間違いなくNPにありますが、NPハードでもありますか？）

割り当てが与えられておらず、数式に一意の満足できる割り当てがあるかどうかを判断したい場合はどうなりますか？

ありがとう。

特定のCNF式に特定のCNF式以外の満足のいく割り当てがあるかどうかを決定する問題は、CNF式を変換して1つの自明な解を追加することにより、NP完全であることを簡単に示すことができます。この問題は[YS03]で「SATの別の解決問題（ASP）」と呼ばれ、他の多くの問題のASP（決定バージョン）もNP完全であることを体系的に証明するために使用されます。

特定のCNF数式に一意の満足できる割り当てがあるかどうかを判断する問題（数式に満足できる割り当てがない場合、または複数の満足できる割り当てがある場合は「no」と答える必要があります）は、US完全です。USにはUPとcoNPの両方が含まれます。

参照資料

[YS03]ヤトー・タカユキとセタ・タカヒロ。別のソリューションを見つけることの複雑さと完全性、およびパズルへの応用。電子工学、通信、コンピューターサイエンスの基礎に関するIEICEトランザクション、E86-A（5）：1052-1060、2003年5月。

編集：この回答の以前のバージョン（リビジョン1）には、決定バージョンと検索バージョンの間に混乱が含まれていました。修正されました。

Yoram Mosesと私は1980年代半ばにこの問題を研究し（アプリケーションに照らして）、多くの自然なNPCの問題について、2番目/代替の解決策を見つける（またはそのようなものがあるかどうかを判断する）問題がNPCであることを発見したことを思い出します。その後、これがわかっていることがわかりましたが、refを思い出せず、1つ（つまり、1980年代半ばより前のもの）を見つけることができませんでした。しかし、私は上記を正しく思い出すと確信しています。

ライアンへのコメントです。定理が現在のクラスの演習として与えられるという事実は、それをあまり魅力的にしません。それが発見された時点で適切なタイトルを付けた論文で出版されていたはずです...

オデッド・ゴールドライヒ

ここでは、次の論文の抜粋を書きます。

ヴァリアント、LG、ヴァジラニ、VV1986。NPは独自のソリューションを検出するのと同じくらい簡単です。理論。計算。科学 47、1（1986年11月）、85-93。DOI = http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(86)90135-0

既知のすべてのNP完全問題について、そのインスタンスの解の数は、ゼロから指数関数的に多くまで、広範囲にわたって変化します。したがって、NP完全問題に固有の難治性が、この幅広い変動によって引き起こされているかどうかを尋ねることは自然です。ランダム化された多項式時間還元性の概念を使用して、この質問に否定的な答えを与えます。0個または1個の解を持つSATのインスタンスを区別する問題、または一意の解を持つSATのインスタンスに対する解を見つける問題は、ランダム化された削減ではSATと同じくらい難しいことを示します。

関連する論文もご覧になることをお勧めします。

Beigel、R.、Buhrman、H.、およびFortnow、L.1998。NPは独自のソリューションを検出するほど簡単ではないかもしれません。ではコンピューティングの理論上のサーティー年次ACMシンポジウム（ - 26、1998ダラス、テキサス州、米国、5月24日）。STOC '98。ACM、ニューヨーク、NY、203-208。DOI = http://doi.acm.org/10.1145/276698.276737

$DP=\{(L_1 ∩ L_2)| L_1 \in NP, L_2\in CoNP\}$

アンドレアス・ブラスとユーリ・グレヴィッチ、 固有の充足可能性問題について、

UNIQUE SATとANOTHER SATの両方の問題に対する解決策は、複雑さの完全な分類とともに、論文で見つけることができます。

L.ジュバン：一般化された一意の充足可能性問題の二分法定理 http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F3-540-48321-7_27