非負整数の線形ディオファンチン方程式

非負の整数で線形ディオファントス方程式を解くNP完全問題について見つけることができる情報はほとんどありません。つまり、すべての定数が正である方程式非負のに解がありますか？私が知っているこの問題の注目に値する唯一の言及は、シュライバーの線形および整数計画法の理論です。そしてそれでも、それはかなり簡潔な議論です。 $x_1,x_2, ... , x_n$ $a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n = b$

ですから、この問題に関してあなたが提供できる情報や参考文献を大いに感謝します。

私が最も気にしている質問は2つあります。

それは強くNP完全ですか？
ソリューションの数をカウントする関連問題は、＃P-hard、または＃P-completeですか？

— 4evergr8ful
ソース

これは実際には研究レベルの質問ではなく、あなたがそれ以上の情報を見つけられなかったと信じることは難しいと思います。ここから開始：en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

— domotorp

2）については、自然数え上げバージョンが#P完全ではないNP完全問題の既知の例はありません。特定の問題の節約的な削減を見つけることは、参照を見つけるよりも簡単かもしれません。本論文では、密接に関連し#SubsetSumのためにそれを行います。crt.umontreal.ca/~gerardo/tsppd-p-complete.pdf

— Sashoニコロフ

@domotorpと4evergr8fulの両方にもう少し礼儀を教えてください。最初のものは、ナップザックの問題がこのようなディオファントス方程式にどのように減少するかを説明できたでしょう。彼はそうだと思うようです。。しかし、私はナップザックの問題についても考えましたが、それがディオファントス方程式の正の解に帰着するかどうかはまったくわかりません。

— アンドレバウアー

OPは、@ Austinが述べたように、ナップザックの場合と同じ動的プログラムのアイデアが、

が多項式境界で

場合に多項式時間で問題を解決するために機能します。そのため、問題は強くnp完全ではありません。domotorpには、ナップザックwikiページを表示する正当な理由がありました。

a_{i}

$a_i$

— サショニコロフ

@ 4evergr8ful確かに、引用を言い換えていると思います。それは大丈夫です。ただし、「6」を「すべて」に変更することにより、それらを誤って引用しています。G＆Jはpar約的である（つまり、解決策の数がまったく同じである）と定義しているため、NPの問題間のすべての削減をP =パリティPなしでpar約化できるとは限りません。これは、SATからNAE-SATへの標準的な削減により、2の累乗の係数が導入されるためです。これは、SATはParity-Pに対して完全ですが、NAE-SATは簡単であるためです。答えは常に偶数= 0です）。

— タイソンウィリアムズ

回答:

（1）に関しては、問題は強くNP困難ではありません。ここの結果 1を参照してください。

パパディミトリウ、CH（1981）。整数プログラミングの複雑さについて。Journal of the ACM、28（4）、765-768。

（2）に関して、すべての定数が正の場合、問題は明らかに#Pにあります。SubsetSumの＃P-completeバージョンもあります。これは問題のインスタンスにほぼ適合しますが、を0または1にする必要があります。こちらを参照してください。 $x_i$

Faliszewski、P.およびHemaspaandra、L.（2009）。パワーインデックス比較の複雑さ。Theoretical Computer Science 410（1）、101-107。

IはFaliszewskiとHemaspaandraによって使用される構成は要件があるように調整することができることをかなり確信している定数はで符号化されていれば、必要とされない、従って、問題は、＃P-完全であることを主張するだろうバイナリ。 $x_i\in \{0,1\}$

— クリストフ・ヘイズ
ソース

私はこれに関する専門家ではありませんが、建設的な議論を始めたいと思います。これは、math.stackexchange.comの質問に基づく試みです。線形ディオファンチン方程式の正の解の数を数えます。これらは、私が何も知らないErhart多項式に関連しており、上記の@SashoNikolovのコメントにも関連していると思います。

$N(a_1, a_2, \ldots, a_n; b)$

a_{n} x_{n} + a_{n - 1} x_{n - 1} + \dots + a_{1} x_{1} = b,

$a_n x_n + a_{n-1} x_{n-1} + \cdots + a_1 x_1 = b,$

a_{i}

$a_i$

b

$b$

N (a_{1}; b) = {\begin{cases} 1 & if a_{1} ∣ b \\ 0 & otherwise \end{cases}

$N(a_1; b) = \begin{cases} 1 & \text{if $a_1 \mid b$} \\\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

N (a_{1}, \dots, a_{n + 1}; b) = \sum_{0 \leq k \leq b / a_{n + 1}} N (a_{1}, \dots, a_{n}; b - a_{n + 1} k)

$N(a_1, \ldots, a_{n+1}; b) = \sum_{0 \leq \ k \ \leq b/a_{n+1}} N(a_1, \ldots, a_n; b - a_{n+1} k)$

k

$k$

b

$b$

— アンドレイ・バウアー
ソース

Andrej様、NP硬度が強い場合、入力の長さではなく入力の値で測定します。参照：en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Dynamic_programming

— domotorp

@ domotorp、Andrejは#P完全性についての2番目の質問に取り組んでいると思います-コンプリート）。アンドレジ、あなたがここで見せたいことを混乱させていますか？決定問題はNP完全であるため、解の数を数えることは期待できません。ソリューションの数を概算したいですか？または、指数時間よりも速いアルゴリズムを使用していますか？

— サショニコロフ

ところで、この論文のアルゴリズム（動的計画法を介したナップザックの解の数の概算）は、ディオファントス方程式の問題に適応できる可能性が高いと思います：cs.utexas.edu/~klivans/focs11.pdf

— Sasho Nikolov

この問題についてもう1つの事実を学びました。3種類の人々がいます。それを#linear diophantine問題と呼ぶ人々、それを#unboundナップザック問題と呼ぶ人々、そして最後にそれを難民問題と呼ぶ人々です。そして、彼らはお互いに話していないようです。

— 4evergr8ful