#Pを超え、検索の問題を数える

私は、8人の女王の問題に関するウィキペディアの記事を読んでいました。正確な解の数についての公式は知られていないと述べられています。いくつかの検索の後、「完全なマッピングのカウント問題の難易度について」という名前の論文を見つけました。このペーパーでは、最大で#queensと同じくらい難しいことが示されている問題があります。これは#Pを超えています。ウィキペディアの記事で徹底的に数えられた#queenの数を垣間見ると、彼らは非常に指数関数的に見えます。

このクラスの名前があるかどうか、または一般的に#Pを超えるクラスに属するカウントの問題があるかどうかを尋ねたいと思います（もちろんPSPACEにはないので、決定は明らかです）。

最後に、たとえばSpernerの補題で3色の点を見つける（PPAD完了）など、他の検索問題について他の既知の結果があるかどうかを確認します。

関数fが#Pにある場合、長さNの入力文字列xが与えられると、値f（x）は区切られた非負の数になります。（これは、NP検証者の受け入れパスの数の観点からの定義に基づいています。）$2^{poly(N)}$

これは、多くの関数fが#Pの外側にあることを意味します。つまり、fが負であるか、または言及した場合、関数がより速く成長するためです。しかし、論文でモデル化されたnクイーンの問題の場合、これは入力値nをバイナリでエンコードするという著者の決定の成果にすぎません。予想される入力が単項文字列1 nの場合、f （1 n）：=（有効な$2^{poly(N)}$$n$$n$$1^n$$f(1^n) :=$$n$-queen構成）は、特定の構成の有効性をチェックする単純なNP検証機能によって、確実に#Pになります。

もっと興味深い理由で（推測的に）#Pの外側にあるいくつかの関数を調べたい場合は、以下を考慮してください：

• UNSAT： ならばψは、そうでなければ充足不能ブール式であるF （ψ ）：= 0。NP = coNPでない限り、この関数は#Pにはありません。おそらく、より一般的なカウントクラスGapPにもありません。つまり、UNSATはおそらく2つの#P関数の差f-gではありません。ただし、より一般的なカウンティング複雑度クラスP ＃Pにあり、実際には戸田の定理による多項式階層全体が含まれています。$f(\psi) := 1$$\psi$$f(\psi) := 0$$P^{\# P}$

それは自然な「カウントの問題」ではないため、この例は気に入らないかもしれません。しかし、次の2つは次のようになります。

• ブール式 ψ （x 、⋅ ）が yに設定されたときに満たされるような xへの割り当ての数。$f(\psi(x, y)) :=$$x$$\psi(x, \cdot)$$y$

• すべての yの少なくとも半分について、 ψ （x 、y ）= 1であるような xの数。$f(\psi(x, y)) :=$$x$$y$$\psi(x, y) = 1$

後者の2つの問題は、＃PへのOracleアクセスでも効率的に計算できることは知られていません。ただし、それらはいわゆる「カウント階層」内で計算可能です。このクラス内で分類されるより自然な問題については、例えばこの最近の論文を参照してください。

ナッシュ均衡を数えることは、明らかに＃P-hard です。こちらを参照してください。また、検索の問題が簡単な問題でさえ、＃Pを数えるのが難しい場合があります。

$\#PSPACE$$\#EXPTIME$、等-complete

Hazem Torfah、Martin Zimmermannによる線形時間時相論理のモデルのカウントの複雑さ