頂点ラベリングの「ローカル」関数を結合するためのグラフ分解

私たちが見つけたいとし

$$\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$$ または $$\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$$

Vのすべてのラベル付けでmaxまたはsumが取られる場合$V$、積はグラフG = \ {V、E \}のすべてのエッジ$E$で取られ、fは任意の関数です。この量は、有界ツリー幅グラフでは簡単に、一般的に平面グラフではNP困難です。適切な色の数、最大独立集合、およびオイラー部分グラフの数は、上記の問題の特別な例です。この種の問題、特に平面グラフの多項式時間近似スキームに興味があります。どのグラフ分解が有用でしょうか？$G=\{V,E\}$$f$

編集11/1：例として、統計物理学のクラスター展開（つまり、マイヤー展開）に類似するかもしれない分解について疑問に思っています。$f$が弱い相互作用を表す場合、そのような展開は収束します。つまり、グラフのサイズに関係なく、展開の$k$項で所定の精度を達成できます。これは、量に対するPTASの存在を意味しませんか？

2011年2月11日更新

高温膨張は、高次の項が高次の相互作用に依存する項の合計としてパーティション関数$Z$を書き換えます。「相関が減衰する」場合、高次の項は十分に速く減衰するため、$Z$の質量のほぼすべてが有限数の低次の項に含まれます。

たとえば、イジングモデルの場合、次のパーティション関数の式を考慮してください。

$$Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i x_j = c \sum_{A\in C} (\tanh J)^{|A|}$$

ここで、は単純な定数、はグラフのオイラー部分グラフのセット、サブグラフのエッジの数です。$c$$C$$|A|$$A$

パーティション関数をサブグラフの合計として書き直しました。合計の各項は、サブグラフのサイズによって指数関数的にペナルティが科されます。次に、同じ指数を持つ項をグループ化し、最初の項を使用してを近似します。サイズのオイラー部分グラフの数があまり速く増えない場合、近似の誤差は指数関数的に減衰します。$Z$$k$$p$$k$

概算のカウントは一般に困難ですが、「相関減衰」の場合は簡単です。たとえば、Isingモデルの場合、がよりも遅く成長すると相関が減衰します。ここで、はサイズオイラー部分グラフの数です。このような場合、高温膨張を切り捨てることで PTASが得られると思います$f(k)$$(\tanh J)^k$$f(k)$$k$$Z$

別の例は、重み付き独立セットのカウントです。重みが十分に低い場合、問題が相関減衰を示すようにすることができるため、どのグラフでも扱いやすくなります。数量は、境界サイズの領域で独立したセットをカウントすることにより近似されます。Dror WeitzのSTOC'06の結果は、最大次数4の任意のグラフで重みなし独立セットカウントが可能であることを意味すると考えています。

「ローカル」分解の2つのファミリ、BetheクラスターグラフとKikuchi領域グラフを見つけました。Bethe分解は、基本的に、リージョンのカウントを乗算し、リージョンのオーバーラップのカウントで除算するように指示します。菊池領域グラフ法は、「包含-除外」タイプの修正を使用して、領域の重なり自体が重なり合う可能性があることを考慮して、これを改善します。

別のアプローチは、「コンビナトリアル空間上の変動推論」のように、問題をグローバルな扱いやすい部分に分解することです。ただし、ローカル分解では、領域サイズを選択することで近似品質を制御できます

私が言いたいことは、コメントには長すぎます（実際にはそうすべきです）。

質問を正しく読んでいる場合、上記の量のいずれかに対してFPRAS（完全に多項式のランダム化された近似スキーム）が必要です。各量には、特殊なケースとしてさまざまな＃P-complete問題が含まれています。特に、平面グラフの場合、クラスター拡張を使用して、一般的なFPRASが必要です。

これは、存在問題のNP完全性（たとえば、適切な色付け）が、対応するカウント問題（たとえば、適切な色付けの数）がAP縮小可能性（近似-保存）。Dyer、Goldberg、Greenhill and Jerrum、Algorithmica（2004）38：471-500を参照してください。

しかし、おそらく私は質問を読み違えたでしょう。

（実際には、高温膨張の意味を未経験者に説明できますか？）