グラフのエッジカバーの数をカウントする複雑さ

エッジカバーは、グラフのすべての頂点がカバーの少なくとも一方の縁部に隣接するようにグラフのエッジのサブセットです。次の2つの論文は、そのカウントエッジカバーがあると言う#P -complete：エッジカバーカウントするためのシンプルFPTASとパスのグラフの生成エッジカバーを。しかし、私が何かを見逃していない限り、彼らはこの主張の参照や証拠を提供しません。（最初の論文の参考文献3は有望であるように見えたが、私はそこに私が望むものも見つけられなかった。）

グラフのエッジカバーの数を数えることは＃P-completeであるという事実の参照または証拠をどこで見つけることができますか？

— a3nm
ソース

回答:

これが最初に証明された場所はわかりませんが、EdgeCoverにはブールドメインHolant問題としての式があるため、多くのHolant二分法定理に含まれています。

EdgeCoverは（1）の二分法の定理に含まれています。定理6.2（ジャーナル版またはプレプリントの定理6.1）は、EdgeCoverが平面3正規グラフ上で＃P-hardであることを示しています。これを確認するために、3-正則グラフ上Holant問題としてEdgeCoverための式である（または置き換えると含む以上の同じ問題のための1つのを $\operatorname{Holant}([0,1,1,1])$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ $k$ -通常のグラフ）。このの表記リスト出力対称関数入力ハミング重みのためです。（我々は、1と0を割り当てられる補集合を割り当てられるように考える）セットエッジのサブセットのために、各頂点における制約は、少なくとも一つのエッジは1が割り当てられていることであり、まさに関数である。エッジの固定サブセットについて、その重量は、出力の生成物である $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ $[0,1,1,1]$ 各頂点で。頂点がカバーされていない場合、要因になり。すべての頂点がカバーされている場合、すべての頂点が係数寄与するため、重みもます。次に、Holantはエッジのすべての可能なサブセットを合計し、各サブセットに対応する重みを追加します。すべてのエッジを再分割し、これらの新しい頂点への両方の入射エッジが等しくなければならないという制約を課す場合、このHolant値はまったく同じです。対称関数表記を使用して、このバイナリ等価関数である。このグラフは2部構成です。一部の頂点を持っている $0$ $1$ $1$ $[1,0,1]$ 他の部分の頂点が有する制約しながら、の制約。Holant問題として、このための発現である。次に、あなたは、 "自分のためにその行を確認することができ "とカラム」 $[0,1,1,1]$ $[1,0,1]$ $\operatorname{Holant}([0,1,1,1]|[1,0,1])$ $[0,1,1,1]$ "は、上記の定理に近いテーブルの" H "を含みます。これは、入力グラフが平面でなければならない場合でも、問題が＃P-hardであることを意味します。 $[1,0,1]$

サイドノート：Pinyan Luはこの論文とあなたが引用した最初の論文の両方の著者であることに注意してください。彼らの論文が「入力を3つの通常のグラフに制限しても、エッジカバーのカウントは#P完全な問題である」と言うとき、彼らは暗黙のうちに引用していたと推測しています（1）。彼らはおそらく、FPTASがこの制限を必要としないため、平面グラフにさらに制限された場合にも硬度が保持されることを言及しなかったでしょう。

（2,3）---同じ作品の会議とジャーナル版---のような後期のホラント二分法定理は、より証明された。（両方のバージョンで）定理1はEdgeCoverは、＃P-硬い平面上にあることを言う用-regularグラフ。これを確認するには、ホログラフィック変換を適用する必要があります。上述したように、オーバーHolant問題としてEdgeCoverための発現 -regularグラフである、含有 $k$ $k \ge 3$ $k$ $\operatorname{Holant}([0,1,\dotsc,1])$ $[0,1,\dotsc,1]$ $k$ 1の。さらに、これは同等です。今、我々はによってホログラフィック変換を適用する $\operatorname{Holant}([1,0,1]|[0,1,\dotsc,1])$ $T = \begin{bmatrix} 1 & e^{\pi i / k} \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ （またはあなたの視点に応じて、その逆）。ValiantのHolant定理（4,5）により、これは問題の複雑さを変えません（実際、すべての入力の出力に同意するため、両方の問題は実際には同じ問題です...問題の表現のみが変更されています）。この問題の代替表現は

ここで。入力は定理1を適用するために、我々は正常化するために持っている

ホラント （ [1 、 0 、 1] T^{\otimes 2} | （ T^{- 1} ）^{\otimes k} [0 、 1 、 \dots 、 1] ） = ホラント （ [2 、 e^{π 私 / k} 、 e^{2 π 私 / k}] | =_{k} ） 、

$\operatorname{Holant}([1,0,1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes k} [0,1,\dotsc,1]) = \operatorname{Holant}([2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]|=_k),$

=_{k}

$=_k$ は等式関数

k

$k$

[2, e^{π i / k}, e^{2 π i / k}]

$[2, e^{\pi i / k}, e^{2 \pi i / k}]$ と

によって本来の機能を分割して

この値がゼロであるため、問題の複雑さを変化させません。次に、値

および

[2 e^{- π i / k}, 1, e^{π i / k}]

$[2 e^{-\pi i / k}, 1, e^{\pi i / k}]$

e^{π i / k}

$e^{\pi i / k}$

X

$X$

Y

$Y$ 定理の記述では、

および

です。以下のために

、一方がこの問題は、これによりEdgeCover同様に、＃P-硬い平面上にあることを確認することができ

用-regularグラフ

X = 2

$X = 2$

Y = - 2^{k} - 1

$Y = -2^k - 1$

k \geq 3

$k \ge 3$

k

$k$

k \geq 3

$k \ge 3$ 。

サイドノート：この定理と証明はMichael Kowalczykの論文でも見ることができますます。

文献検索を続けて、（1）の前にEdgeCoverが＃P-hardであることが示されたことを確認します。

（1）Jin-Yi Cai、Pinyan Lu、およびMingji Xiaによるホログラフィック縮小、補間および硬度（ジャーナル、プレプリント）。

（2）用の二分法A と-Regularグラフ -Vertex割り当てと実エッジ関数 $k$ $\{0,1\}$ ジンイーカイとマイケルKowalczykによる。

（3）上のパーティション関数と-Regularグラフ -Vertex割り当てと実エッジ機能 $k$ $\{0,1\}$ ジンイーカイとマイケルKowalczykによる。

（4）レスリーG.ヴァリアントによるホログラフィックアルゴリズム

（5）Jin-Yi CaiとVinay ChoudharyによるValiantのHolant定理とマッチゲートテンソル

— タイソン・ウィリアムズ
ソース

うわー、これを教えてくれて、語彙とエッジカバーとの関係を説明してくれてありがとう！（1）EdgeCoverが困難であることを暗黙的に証明していること（および3規則平面グラフの場合でも困難であること）に同意します。また、（1）の前に誰かがEdgeCoverの＃P-hardnessを証明したかどうかを知りたいと思っています）。回答ありがとうございます！

— a3nm 14年

@Tyson Williams：2-3-regularグラフから開始し、次数2のパーティションのノードを縮小すると、最終的に3-regular multigraph、つまり平行エッジになります。これを修正して、3正規の単純なグラフで硬度を表示できますか？より一般的には、この質問はHolantの問題に関するすべての結果を求められる可能性があるので、ここでcstheory.stackexchange.com/q/43912/38111に新しい質問を作成しました。カバー）。あなたが見てみることができればうれしいです:)

— M.Monet

ああ、はい。良い観察。単純なグラフにどのような結果があるのか、今は思い出せません。

— タイソンウィリアムズ

@TysonWilliams：確認してくれてありがとう、心配無用！私のコミュニティでは、「グラフ」は、特に明記しない限り、常に「単純なグラフ」を意味するため、質問では明示的に述べていませんでした。

— a3nm

@TysonWilliams：結局のところ、単純なグラフ（2〜3の通常の2部および平面）のエッジカバーをカウントする際に、ホログラフィック手段を使用して硬度結果を取得する方法を見つけました。詳細は、以下の私の回答の最新バージョンと、arxiv.org / abs / 1703.03201の付録Dにあります。xia2006regularの3正規2部平面グラフで頂点カバーのカウントの硬度を使用します。これらのグラフには自己ループがありません。各エッジを分割して平行エッジを削除し、cai2008holographicは問題を作成しません。（3正規グラフについては、あなたの答えのように、わかりません。）

— a3nm

さらに文献を検索した結果、グラフのエッジカバーのカウントの複雑さは、bordewich2008path、付録A.1で＃P-completeであることが示されたようです。（これは、入力として任意のグラフを想定しています。つまり、最小次数を任意に大きくできることを除いて、入力グラフに仮定を強制することはできません）。（bordewich2008pathは、結果がbubley1997graphで証拠なしに主張されていることをさらに示しています。）この結果は、タイソンウィリアムズの答えで（1）として参照されるCai、Lu、およびXiaのものよりも前のものであり、ホログラフィック理論に依存していません。

具体的には、結果は、greenhill2000複雑度（vadhan1997複雑度で示される次数が最大4のグラフの類似結果の改善）で示される3正規グラフの独立セットをカウントする＃P-hardnessに依存し、bubley1997graphの手法を使用して結果を証明します。

より強い結果、すなわち、最大4つの次数の2部グラフでのエッジカバーのカウントの硬さ（エッジセットを4つのマッチングに分割できることをさらに示唆する）は、khanna2011queries、付録B.1で、ホログラフィックツールなしで個別に研究されました。それらは、3正規2部グラフ（vadhan1997複雑性の内挿法の改良によってxia2006regularに示されている）の独立したセットをカウントする難しさに依存し、bordewich2008pathの技法の改良を適用します。

さらに強力な結果（2部3から3の正規グラフ、つまり、片側のすべての頂点の次数が2で、反対側のすべての頂点の次数が3である2部グラフ） xia2006regularおよびcai2008holographicの結果を使用して表示されます。この説明は、PODS'17ペーパーの最新バージョンの付録Dとして表示されます。この場合、結果が単純なグラフ、つまり自己ループもマルチエッジも持たないグラフ（Tyson Williamsの答えに対するコメントを参照）の。

平面3規則グラフの硬さについては、Tyson Williamsの答えに議論がありますが、グラフでマルチエッジとセルフループが可能になるようです。

参照：

bordewich2008path：Magnus Bordewich、Martin Dyer、Marek Karpinski、停止時間を使用したパスカップリングとハイパーグラフでの独立セットとカラーリングのカウント、2008年。
bubley1997graph：Russ Bubley、Martin Dyer、シンクなしのグラフの向きと#SATのハードケースの近似、1997。オンラインで利用できるオープンアクセスバージョンはないようです。:-(
cai2008holographic：J. Cai、P。Lu、M。Xia、ホログラフィック縮小、補間および硬度、2008
greenhill2000complexity：Catherine Greenhill、スパースグラフとハイパーグラフのカラーリングと独立セットのカウントの複雑さ、2000
khanna2011queries：Sanjeev Khanna、Sudeepa Roy、Val Tannen、Queries with Difference with Probabilistic Databases、2011。
vadhan1997complexity：Salil P. Vadhan、The Complexity of Counting of Sparse、Regular、and Planar Graphs、1997。
xia2006regular：Mingji Xia、Wenbo Zhao、＃3-Regular二部平面平面カバーは＃P-Complete、2006年です。オンラインで利用できるオープンアクセスバージョンはありません。:-(タイソン・ウィリアムズの回答では、最初の著者は（1）の著者でもあることに注意してください。

免責事項：私はこれらの論文を表面的に見ただけで、この分野の専門家ではないため、上記の要約に誤りがある可能性があります。

khanna2011queriesを紹介してくれた匿名のPODS'17審判のおかげで、この答えを書くきっかけになりました。

— a3nm
ソース