スパニングツリーの数を高速にカウントする

$t(G)$ $G$ $n$ $t(G)$ $O(n^3)$ $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ $Q$ $G$ $J$ $1$

$t(G)$ より高速に計算する方法があるのだろうか。（はい、行列式の計算には $O(n^3)$ アルゴリズムよりも高速ですが、新しいアプローチに興味があります。）

また、グラフの特別なファミリ（平面、多分？）を検討することにも関心があります。

たとえば、循環グラフの場合、 $t(G)$ は $O(n \lg n)$ 算術演算で恒等介して計算できます。 $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ 、ここで $\lambda_i$ はのラプラシアン行列の非ゼロの固有値であり $G$ 、巡回グラフですばやく計算できます。（最初の行を多項式として表し、それを単位の $n$ 番目の根で計算します。このステップは離散フーリエ変換を使用し、 $O(n \lg n)$ 算術演算で実行できます。）

どうもありがとうございました！

— フィンスキー
ソース

セルゲイ、わかりやすくするために質問を編集しました。質問を正しく理解し、エラーが発生していないことを確認してください。

— タイソンウィリアムズ

アーベル群のためのケーリーグラフ：ここで発見複雑さをより速く行うことができるグラフファミリーのもう一つの一般的な例であり、

G

$G$ ジェネレータセットと

S

$S$ ように、

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$ 。このような行列の固有値は

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$ であることがわかっています。ここで、

χ

$\chi$ はグループの異なる文字です。すべての文字は簡単に見つけることができます（詳細についてはこのペーパーを参照してください）。これらの文字の計算は

n

$n$ 次元FFT（Cormen et al FFTの章を参照）、つまり

で行えます

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$ 。

— フィンスキー

ケイリーグラフの詳細については、この本を参照してください。

— フィンスキー

一般的な行列ではなくラプラシアンを使用して線形代数を実行する方が簡単です。これは関係があるのだろうか。

— ギルカライ

ディスカッションのトピックに直接関連していない場合でも、可能であれば、いくつかの例を提供してください。ありがとうございました。

— フィンスキー

れる既知のため、こと有界ツリー幅の、TUTTE多項式任意で評価することができる用いて演算を。場合接続され、次いで、。 $G$ $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— ラドゥ・カーティカピーン
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