無向グラフの単純なパスの数を数える

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無向グラフ内の一意の単純なパスの数を決定するにはどうすればよいですか？特定の長さ、または許容される長さの範囲のいずれか。

単純なパスはサイクルのないパスであることを思い出してください。したがって、サイクルのないパスの数を数えることについて話しているのです。

graph-theory co.combinatorics counting-complexity

— ライアン
ソース

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これはmathoverflowに、既に求められていますmathoverflow.net/questions/18603/...

— リストを

5

実際、mathoverflowでの質問は、すべてのパスを見つけることであり、それらを数えることではありませんでした。それらを見つけるのはずっと難しくなります。

— DCTLib

1

回答に記載されている参照のほかに、些細な観察の1つは、長さ

パスの数を数えることができれば、ハミルトニアンパスの存在の問題に答えることができるということです。したがって、ほとんどの場合、Pではありません

n - 1

$n-1$

— サイード

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長さの単純なパスカウントいくつかのアルゴリズムが存在するで全体のかなり良くブルートフォース（より時間、時間）。たとえば、Vassilevska and Williams、2009を参照してください。 $k$ $f(k)n^{k/2+O(1)}$ $O(n^k)$

— アンドレアス・ビョルクルンド
ソース

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＃P-complete（Valiant、1979）なので、正確な答えが必要な場合、ブルートフォースよりもはるかに良い結果を得る可能性は低いです。近似については、Roberts and Kroese（2007）で議論されています。

B.ロバーツとDPクローゼ、「グラフ - パス数の推定 $s$ $t$ 」。Journal of Graph Algorithms and Applications、11（1）：195-214、2007。

LG Valiant、「列挙の複雑さと信頼性の問題」。SIAM Journal on Computing 8（3）：410-421、1979。

— デビッド・リチャービー
ソース

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ロバーツとクローゼの論文は、近似保証を与えていないようです。この問題で知られているPTASはありますか？

— サショニコロフ

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@SashoNikolov、合理的な近似アルゴリズムが存在する可能性は低いようです。

与えられると

各ノードをサイズ

クリークで置き換えることにより、

から

を取得し

ここで

そして

。長さの各単純パスの

における

おおよそある

内経路

。あれば

持っています

G = (V, E)

$G=(V,E)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

N = n^{c}

$N=n^c$

n = | V |

$n=|V|$

c ≫ 1

$c\gg 1$

ℓ

$\ell$

G

$G$

(N!)^{ℓ}

$(N!)^\ell$

G^{'}

$G'$

G

$G$

ハミルトニアンパス、

には少なくとも

かそこらの単純な

パスがあり、それ以外の場合は

ようなものがせいぜい

シンプルな

パス。したがって、約

係数内で近似するのは難しいはず

s - t

$s-t$

(N!)^{n}

$(N!)^{n}$

s - t

$s-t$

G^{'}

$G'$

(n - 1)! (N!)^{n - 1}

$(n-1)!(N!)^{n-1}$

s - t

$s-t$

。

N! / (n - 1)! ≫ n^{c - 1}!

$N!/(n-1)! \gg n^{c-1}!$

— ニールヤング

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パラメーター化された別の近似アルゴリズムを追加したい：固定された（または、より優先的に、 $\delta>0$ ）、あなたは計算することができるの単純なパスの数の、いずれか無向又は有向グラフにおいて、長さの-approximation時間における。 $\delta =\Omega(\frac{1}{poly(k)})$ $(1+\delta)$ $k$ $O^*(2^{O(k)})$

— RB
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