＃2-SATの＃P-completeサブファミリーとは何ですか？

短縮版。

＃2-SATが#P -completeであるという元の証拠は、実際には、単調（変数の否定を含まない）であり、2部（その上の節によって形成されるグラフ）である＃2-SATのインスタンスを示します変数は2部グラフです）は#P -hardです。したがって、＃2-MONOTONE-SATと＃2-BIPARTITE-SATの2つの特別なケースは#P -hardです。フォーミュラの「自然な」特性の面で特徴づけられる特別なケースは他にもありますか？# P-ハードですか？

ロングバージョン。

問題＃2-SATは、計算のタスクです。いくつかの節の結合で構成されるブール式場合、各節は2つのリテラルまたは選言です—ブール文字列の数よう。そのようなが存在するかどうかを調べるのは簡単です。しかし、「列挙と信頼性の問題の複雑さ」のValiant 、SIAM J. Comput。、8、pp。410–421に示されているように、一般にソリューションの数を数えることは#P 完全です。$\phi$$x_j$$\bar x_j$$x \in \{0,1\}^n$$\phi(x) = 1$$x$

特に＃2-SATの場合、Valiantが実際に示すのは、2部グラフでマッチング（不完全なものを含む）をカウントすることで＃2-SATが減少し、非常に特殊な構造を持つ＃2-SATのインスタンスが生成されることです。 、 次のように。

1. まず、単調な問題は、置換によって、各変数に対してが式または発生するが、両方ではないという問題に等しいことに注意してください。特に、すべての変数に対して否定のみが発生する「単調減少」問題は、単調の場合とまったく同じくらい困難です。$x_j$$x_j$$\phi$$\bar x_j$$\bar x_j$

2. グラフでエッジを使用する場合、変数を各エッジに割り当てることにより、マッチング（頂点を共有しないエッジのコレクション）に対応する単調減少2-SAT式を構築できます。エッジセットに含まれています。セットのプロパティマッチングであるが、入射ベクトルに相当し、X = χ M CNF式を満たすφ節で与えられるが（ˉ X E ∨ ˉ X F）エッジのすべての対について、E 、F ∈M X E M ⊆ $G = (V,E)$$m$$x_e$$M \subseteq E$$\mathbf x = \chi_M$$\phi$$(\bar x_e \vee \bar x_f)$$e, f \in E$頂点を共有する E。構成により、$\phi$有するような多くの満足する解決策$\mathbf x \in \{0,1\}^m$グラフに（不完全な可能性）が存在するようにマッチング$G$。

3. 一致をカウントするグラフが2部からなる場合、奇数サイクルは含まれません。これは、同じエッジで開始および終了するエッジシーケンスとして記述することができます（最終エッジを2回カウントせずに） 。次に、ϕに奇数の長さの変数x e、x f、x g、… 、x eのシーケンスはありません。この場合、隣接する変数は共通の節に含まれます。次いで、式φは、前述したようにして二分あろう。$G$$x_e, x_f, x_g, \ldots, x_e$$\phi$$\phi$

4. 任意の二部グラフにおけるマッチングの数を数える、特に、二部グラフに完全マッチングの数をカウントするために使用することができる：入力bitrariteグラフ所与 2 bipartitionsでA 、Bの同じサイズN、一方がグラフ作成することができたG Kを増大することによってAをどこで0 ⩽ K ⩽ n個の頂点の全てに接続された余分の頂点B。Gのすべてのマッチング$G = (A \cup B, E)$$A, B$$n$$G_k$$A$$0 \leqslant k \leqslant n$$B$$G$与えられたサイズのでのマッチングの数に異なる貢献をします。これらを数えることにより、サイズnのGでのマッチングの数を決定できます（つまり、完全なマッチングです）。そして二部グラフの完全マッチングの数をカウントするの計算パーマネントと等価であることに注意してください{ 0 、1 }単純correspondanceによって-matrices。$G_k$$G$$n$$\{0,1\}$

#P -hardであることが示されている＃2-SATのインスタンスのクラスは、単調な二部インスタンスです。

質問：この削減またはその他の削減の結果として、＃P-完全な＃2-SATの他の特別なケースは何ですか？

削減を示す/引用することに加えて、人々が特別なケースがどのように満足のいく割り当てを数えるための自然なアプローチに障害を提供するかについての直感的な理由を説明できれば興味深いでしょう。たとえば、MONOTONE-2-SATは簡単に解決できますが（は常に解決策です）、単調なインスタンスは、ある変数を固定値に割り当てると、残りの変数に多くの制約を課すことが日常的に失敗するインスタンスです。任意の変数x j = 0を修正すると、何らかの句によってそれに直接関連する変数の値のみが制限されます。およびx j = 1の設定$\mathbf x = 1^n$$x_j = 0$$x_j = 1$他の変数の可能な値を制限しません。（ただし、2部グラフに匹敵する制限が同様に重要であることは明らかではありません.2部制限は、構造を削除するのではなく追加するようですが、効率的にカウントするのに十分な構造を追加できません。）

追加するために編集されました。ボーナスポイントは、最終的にモノトーンインスタンスの存在に依存しないクラスに対して付与されます（＃2-BIPARTITE-SATが上記のように、その硬度は明らかに#P -hard special case＃2の包含によるものです）-MONOTONE-BIPARTITE-SAT）。たとえば、単調なインスタンスに依存しない（ただし、他のサブファミリーに依存する可能性のある）＃2-BIPARTITE-SATの硬度の引数は興味深いでしょう。

＃3-Regular Bipartite Planar Vertex Cover is＃P-Complete

頂点カバーのカウントは、単調な＃2-SATインスタンスの割り当てを満たすカウントとまったく同じであるため、上記の結果は、単調で正規の＃2-SATインスタンスの満たす割り当てをカウントすることは＃P-completeであることを意味します。そして二部と平面。

これは、2つの＃2-MONOTONE-SATおよび＃2-BIPARTITE-SATの特別なケースに加えて、質問で既に引用されている2つの＃2-CUBIC-SATおよび＃2-PLANAR-SATの特別なケースが＃P-completeも同様です。