ポリトープのグラフの頂点の隣接を効率的に均一にサンプリングできますか？

定義されたポリトープがあります。 $P$ $\{ x : Ax \leq b, x \geq 0\}$

質問：頂点を考えるとの、の隣人から均一試料への多項式時間アルゴリズムが存在しのグラフにおける？（次元の多項式、方程式の数、およびの表現。方程式の数は次元の多項式であると仮定できます。） $v$ $P$ $v$ $P$ $b$

更新：これはNP困難であることを示すことができたと思います。議論を説明する私の答えを見てください。（そして -hard によって、多項式時間アルゴリズムがを証明することを意味します...ここで正しい用語が何であるかはわかりません。） $NP$ $RP = NP$

更新2：硬度の2行の証明があり（適切な組み合わせポリトープが与えられた）、私はKhachiyanによる記事を見つけることができました。説明とリンクについては回答をご覧ください。:-D $NP$

同等の問題：

コメントで、Peter Shorは、この問題は、特定のポリトープの頂点から均一にサンプリングできるかどうかという問題と同等であると指摘しました。（私は同値はこのように書き思う：一つの方向では、我々は、ポリトープから行くことができます頂点との頂点フィギュアに、、との頂点サンプリングの隣人をサンプリングと同等です on 他の方向では、頂点とベースを持つ円錐を追加することにより、ポリトープから1つの高次元のポリトープに移動できます。 $P$ $v$ $v$ $P/v$ $P/v$ $v$ $P$ $P$ $Q$ $v$ $P$ 。その後の隣人サンプリング $v$ における $Q$ の頂点サンプリングと同等である $P$ 。）

この質問の定式化は以前に尋ねられました：https : //mathoverflow.net/questions/319930/sampling-uniformly-from-the-vertices-of-a-polytope

— ロレンツォ・ナジット
ソース

あなたの質問に対する答えはわかりませんが、私の知る限り、明示的に与えられたポリトープの頂点を均一にサンプリングする既知のNP硬度はありません。たとえば、およそのサンプリングサイクルはNP困難です。ただし、頂点がサイクルをエンコードする線形プログラムがある場合は、サイクルの長さを最適化して、ハミルトニアンサイクルを解くことができる可能性が非常に高いです。

— 恒国

もう1つの注意点は、質問に肯定的な答えがあったとしても、頂点の均一なサンプラーが得られないことです（0-1ポリトープ予想を仮定）。最も興味深い場合のポリトープの骨格は規則的ではなく、次数は指数関数的に変化します。

— 恒国

@HengGuoコメントをありがとう、彼らは非常に有用です。度が指数関数的に変化する良い例を知っていますか？（これが一般的なポリトープで発生することは驚くことではありません。頭のてっぺんの1つを知っていれば、組み合わせの例があると便利です。）

— ロレンツォナイット

二部グラフの独立集合ポリトープを考えてみましょう。2つの頂点（2つの独立したセット）は、対称差によって接続されたサブグラフが誘導される場合に接続されます。今、その片側のみ2つの頂点、有する二部グラフ取る

他方側とのすべての頂点に接続され

つのみを。独立セット

および

検討します。

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

{v_{1}}

$\{v_1\}$

{v_{2}}

$\{v_2\}$

— 恒国

ポリトープの特定の頂点の隣接する頂点を均一にサンプリングすることは、ポリトープのランダムな頂点を均一にサンプリングすることと同じ問題です。頂点に限りなく近い円錐を切り落とします。次に、新しいポリトープがあり、この新しいポリトープの頂点をサンプリングできる場合、元のポリトープの隣接する頂点をサンプリングできます。これはおおよそBPPで行うと思いますが、これを証明する論文は見つかりません。

— ピーターショー

編集2：恥ずかしいことに、正しいポリトープで始まる場合、 $NP$ 硬さの2行の証拠があります。

まず、多面体のすべての頂点の生成のページ4の下部にあるグラフの循環ポリトープを思い出してください。

頂点は有向単純サイクルと全単射で対応しています。そのため、JVV提案5.1でサンプリングまたはカウントすることは困難です。:-D

これらのキーワードを装備して、KhachiyanによるTransverseal Hypergraphsおよび Family of Polyhedral Conesの定理1としてサンプリング結果の難しさを見つけることができました。

編集：以下の引数を書きましたが、正しいようです。ただし、はるかに単純な引数があり、ここで概要を説明します。

a）凸多面体のすべての頂点とすべての面をリストするためのバックトラックアルゴリズムの分析（Fukuda et al。）

入力：Aのポリトープ $Ax = b , x \geq 0$ で $\mathbb{R}^n$ 部分集合 $S \subseteq n$

出力：各座標にゼロ以外の頂点 $v$ があるかどうか。 $P$ $S$

b）は、この考えると、一つは次のような構成を行うことができます。新しい変数を導入し $y_{ik}$ ために $i \in S$ と $k = 1, \ldots, d$ 、および不平等紹介 $0 \leq y_{ik} \leq x_i$ 。結果のポリトープ $P_{S,d}$ 呼び出します。この構築のポイントは、各頂点の上に次元 $d |supp(x) \cap S|$ ハイパーキューブを導入することです。

c）このポリトープの頂点がすべて古いポリトープの頂点の上にあること、および頂点上の頂点の数が $2^{d | supp(x) \cap S|}$ ここで、 $supp$ は、頂点がゼロ以外の座標に頂点を送信する関数です。

D）bigons型引数の通常の鎖とは、撮影して、その次の $d$ 十分に大きいが、の頂点から均一なサンプル $P_{S,d}$ （高い確率で）との交点のサイズ最大限頂点から試料与える $S$ 。

これにはさまざまな拡張機能があるようです。書き込みが完了したら、リンクで更新します。

（以前の引数はここにありました-それは編集履歴にあります。それは非常に長く、質問に対する正しい答えを見つけるのを妨げるので、私はそれを削除しました。）

— ロレンツォ・ナジット
ソース

これは非常に興味深い議論です！パート3）ですべての詳細を完全にはチェックしませんでした（関数

、

何ですか？）が、原則として、非スパン構造はスーパー指数関数的爆発のみを引き起こしますしたがって、

多項式を大きくすることで制御できます。

H_{1}

$H_1$

H_{0}

$H_0$

l e a v e s

$leaves$

d

$d$

— 恒国

| H_{0} |

$|H_0|$

| H_{1} |

$|H_1|$

これには何か問題があるはずです。頂点が投げ縄と単純なサイクルであるポリトープがある場合、線形プログラミングを使用して、このポリトープで必要な線形関数を最大化できませんか？そして、それは多項式時間にまたがるなげなわを見つけられないでしょうか？

— ピーターショー

@PeterShorエッジ変数の合計を1に設定することで定義された超平面内にポリトープが存在するため、これは起こらないと思います。そのため、その機能はポリトープ全体で一定です。エッジの数を表す関数は、ベクトルのサポートのサイズであり、このポリトープでは非線形です。

— ロレンツォナジット

@PeterShor「エッジの数」関数が線形になり得ないという証拠を追加しました。下の図を参照してください。

— ロレンツォナージ