パーマネントを使用して2者間でない完全一致をカウントするための直接/自然な削減はありますか？

二部グラフで完全な一致の数を数えることは、パーマネントを計算するためにすぐに削減できます。非二部グラフで完全な一致を見つけることはNPにあるため、非二部グラフからパーマネントへのいくつかの縮約が存在しますが、SATへのクックの縮約を使用し、次にヴァリアントの定理を使用して、永久的。

非二部グラフからマトリックスへの効率的で自然な縮約は、既存の高度に最適化されたものを使用して完全なマッチングをカウントする実際の実装に役立ちますパーマネントを計算するライブラリ。 $f$ $G$ $A = f(G)$ $\operatorname{perm}(A) = \Phi(G)$

更新：同じ数の完全一致で個以下の頂点を持つ任意のグラフを2部グラフに取る効率的に計算可能な関数を含む回答の報奨金を追加しました。 $G$ $H$ $O(n^2)$

— デリック・ストリー
ソース

現在のタイトルは宿題の質問のように聞こえますが、実際の質問はそれよりもはるかに興味深いものです。質問を開くことさえほとんどなかったので、宿題だと思っていたので、もうすぐ9の賛成票があり、好奇心が強くなるまで、すぐに閉じられると思いました。パーマネントを使用して2者間でない完全一致をカウントするための直接/自然な削減はありますか？」

— ジョシュアグロチョウ

良いアイデア。私もそれについて考えませんでした。ありがとう。

— デリックストリー

Nitpicking：「非二部グラフで完全な一致を見つけることはNPにあるため」→「非二部グラフで完全な一致を数えることは#Pにあるため」

— 伊藤剛

あなたのニッチピックは正しいので、私はそれを書くことを考えましたが、私がそれを書いた方法は、削減がクックのTHENヴァリアントの削減を適用することを示唆しています。私は直接、効率的な削減を探しています。

— デリックストーリー

\leq 4 n^{4}

$\leq 4n^4$

4 n^{4} + 1

$4n^4 +1$

S

$S$

S + 1

$S+1$

回答:

私は、2者間マッチングへの「単純な」削減は非常にありそうにないと思います。まず、ハンガリーの方法を使用して、一般的なグラフで完全な一致を見つけるためのアルゴリズムを提供します。したがって、削減には、エドモンドの花のアルゴリズムの複雑さをすべて含める必要があります。第二に、完全に一致するポリトープのコンパクトなLPが得られるため、リダクションは対称（Yannakakisの結果によって除外されます）でなく、本質的に非常に複雑になります。

— モヒト・シン
ソース

これらはすべて、これが存在する可能性が低い理由です。私は質問で反論を求めるべきでした。誰かがあなたの間違いを証明しない限り、私はおそらくこの答えにいくらかの恩恵を与えるでしょう。

— デリックストリー

それが私が望んでいた答えではなかったにもかかわらず、私はこれが非常に満足のいく答えだと感じました。

— デリックストリー

@MohitSingh「2部グラフ以外のハンガリー語法が存在しない」、「ブロッサムアルゴリズムの複雑さをすべて含んでいる」、そして「完全なマッチングのためのコンパクトなLPであり、対称ではない」ことを説明してください？

— T ....

これは明らかにコメントであり、回答ではありませんが、ここにはまだ評価点がありませんのでごめんなさい。

70年代にLovàszとPlummerが推測したように、非2部キュービックブリッジレスグラフの場合、指数関数的に多くの完全一致があります。論文は準備中です。これはあなたの質問と非常に関連があるかもしれませんし、まったくないかもしれません。

— アンドリュー・D・キング
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