#P = FPの結果

#P = FPの結果はどれですか？

私は実用的および理論的な結果に興味があります。

実用的な観点から、私は特に人工知能の結果に興味があります。

論文や本へのポインタは大歓迎です。

#P = FPがP = NPを意味するとは言わないでください、私はすでにそれを知っています。また、言わないでください「の時間におけるアルゴリズムの実行されている場合は実用的な影響が生じない、宇宙での電子の数があるが、」 $\Omega(n^{\alpha})$ $\alpha$ ：それを前提とするために私を許可し、決定論的多項式時間アルゴリズムの場合＃P-complete問題が存在する場合、その実行時間は "clement"（など）になります。 $O(n^2)$

— ジョルジオ・カメラニ
ソース

回答:

これらは、人工知能とは何の関係もありませんが、等式FP =＃Pのいくつかの理論的結果です。FP =＃Pという仮定はP = PPと同等なので、後者の表記を使用させてください。

P = PPの場合、P = BQPになります。量子多項式時間計算は、古典的な決定論的な多項式時間計算によってシミュレートできます。これはBQP⊆PP[ADH97、FR98]（以前の結果のBQP⊆Pの直接的な結果である^PP [BV97]）。私の知識に加えて、P = BQPはP = NPの仮定に従うことはわかっていません。この状況は、ランダム化計算（BPP）の場合とは異なります。BPPBNP ^NP [Lau83]なので、P = NPから等式P = BPPが続きます。

P = PPのもう1つの結果は、有理定数を持つ実数上の計算のBlum-Shub-Smaleモデルが、ある意味でチューリングマシンと同等であることです。より正確には、P = PPは、P = BP（P意味_ℝ⁰）。言語の場合には、あるL ⊆{0,1} ^*は、その後、多項式時間で実数にわたって一定のフリープログラムによって決定可能であり、Lは、多項式時間チューリングマシンによって決定可能です。（ここで、「BP」は「ブール部」の略で、BPPとは何の関係もありません。）これはBPから次の（P _ℝ⁰）⊆ CH [ABKM09]。定義については論文をご覧ください。BP（Pにおける重要な問題_ℝ⁰）である平方根和問題および友人（例：「平面上に整数kと整数座標点の有限集合を与えた場合、全長が最大kのスパニングツリーがありますか？」）[Tiw92]。

2番目の引数と同様に、正の整数 x と y が2進数で与えられたときにx ^yの特定のビットを計算する問題は、P = PPの場合Pになります。

参照資料

[ABKM09] Eric Allender、PeterBürgisser、Johan Kjeldgaard-Pedersen、Peter Bro Miltersen。数値解析の複雑さについて。 SIAM Journal on Computing、38（5）：1987–2006、2009年1月。http：//dx.doi.org/10.1137/070697926

[ADH97]レナード・M・アドルマン、ジョナサン・デマライス、ミン・デ・A・ファン。量子計算可能性。 コンピューティングSIAMジャーナル、26（5）：1524年から1540年、10月1997年 http://dx.doi.org/10.1137/S0097539795293639

[BV97] Ethan BernsteinとUmesh Vazirani。量子複雑性理論。 コンピューティングSIAMジャーナル、26（5）：1411年から1473年、10月1997年 http://dx.doi.org/10.1137/S0097539796300921

[FR98]ランスフォートノウとジョンロジャース。量子計算の複雑さの制限。 コンピュータとシステム科学誌、59（2）：240から252まで、10月1999年 http://dx.doi.org/10.1006/jcss.1999.1651

[Lau83]クレメンス・ラウトマン。BPPおよび多項式時間階層。 情報処理レター、17（4）：215-217、1983年11月 http://dx.doi.org/10.1016/0020-0190(83)90044-3

[Tiw92]プラスーンティワリ。単価の代数RAMで簡単に解決できる問題。 複雑さのジャーナル、8（4）：393から397まで、12月1992年 http://dx.doi.org/10.1016/0885-064X(92)90003-T

— 伊藤剛
ソース

あなたは私にこれを打ち負かしました！実際、あなたはBQP対NPについて正しいです。BQPがPHに含まれていないという合理的な証拠があるようです（たとえば、arxiv.org / abs / 0910.4698を参照）。

— ジョーフィッツシモンズ

@turkistany：間違っていなければ、P = NPはBPPがPHに含まれているためP = BPPを意味し、P = NPの場合はP = PHを意味します。

— ニールドボードラップ

ちなみに、（FP =＃P）⇔（P = PP）の場合は+1で、回答の残りのコンテンツは別にしてください。

— ニールドボードラップ

@Joe：他の質問への回答を踏まえると、実際にP = NP≠BQPを証明しない限り、「P = NPはP = BQPを意味しない」という最良の証拠は、おそらくオラクル分離の結果になると思います。 P ^ A = NP ^ A≠BQP ^ AであるようなオラクルA。もちろん、この結果はBQP ^A⊈PH^ Aを暗示し、大きな未解決の問題を解決するため、これはまったく簡単ではありません。

— 伊藤剛

@剛：PHと一緒に新しいオラクルを形成するだけで、BQPがPHに含まれていないオラクルからそのようなオラクルを構築することはできませんか？

— ジョーフィッツシモンズ

ではグラフィカルモデル、彼らはア・ラ・一般的なグラフの上に永久的に積和演算を行う伴うため、推定問題の多くは、＃P-完了しています。#P = FPの場合、グラフィカルモデルが突然大幅に簡単になり、低ツリー幅モデルをいじる必要がなくなります。

— スレシュ・ベンカット
ソース

戸田は、多項式時間階層の問題を#P関数に還元できることを証明しました。正式に、彼はそれを証明した $PH \subseteq P^{\#P}$ $\sharp P=FP$ $PH$

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

誰かが明確にすることができます：これは「P = PH」（P = NPからすぐに続く）と言っているのと同じではありませんか？

— ニールドボードラップ

@ニール：それは同じではなく、より強いです。

— ジョルジオカメラニ

P^{FP} = P

$\text P^{\text{FP}} = \text P$

# P = FP

$\#\text P = \text{FP}$

PH \subseteq P^{# P} = P^{FP} = P \subseteq PH

$\text{PH} \subseteq \text P^{\#\text P} = \text P^{\text{FP}} = \text P \subseteq \text{PH}$

@All：明確にするために---上記の私の最初のコメントは、次の質問をしていました。FP =＃PがP = PHと同等であるかどうかを知りたい場合は、turkistanyの回答ではなく、元の投稿へのコメントでこれを尋ねたでしょう。

— ニールドボードラップ

@ニール：あなたは正しい。これは、P = NPに続くP = PHと同じです。したがって、FP = #PはすでにP = NP = PHを意味するため、戸田の定理を使用する必要はありませんでした。

— ロビンコタリ