TCSのどの興味深い定理がAxiom of Choiceに依存していますか？（あるいは、決定の公理？）

数学者は、選択の公理（AC）および決定の公理（AD）を心配することがあります。

選択の公理：任意の集合を考える空でない組は、関数があるセットが与えられると、そのにおける、メンバー返し。 f S C${\cal C}$$f$$S$${\cal C}$$S$

決定性の公理：を無限に長いビット文字列のセットとする。アリスとボブは、無限の文字列が構築されるまで、アリスが最初のビットを選び、ボブが2番目のビット選ぶというゲームをします。場合、アリスがゲームに勝ち、場合、ボブがゲームに勝ちます。仮定は、すべてのに対して、プレイヤーの1人に勝利戦略があるということです。（たとえば、がすべて1の文字列のみで構成されている場合、Bobは有限数の動きで勝つことができます。）B 1 、B 2、X = B 1 B 2 ⋯ X ∈ S X ∉ $S$$b_1$$b_2$$x = b_1 b_2 \cdots$$x \in S$$x \not \in S$ $S$$S$

これら2つの公理は互いに矛盾していることが知られています。（それについて考えるか、ここに行きます。）

他の数学者は、証明におけるこれらの公理の使用にほとんど注意を払っていません。私たちは主に有限のオブジェクトで作業していると考えているため、それらは理論的なコンピュータサイエンスとはほとんど無関係のようです。ただし、TCSは計算上の決定問題を無限ビット文字列と定義し、（たとえば）自然の漸近関数としてアルゴリズムの時間の複雑さを測定するため、これらの公理のいずれかの使用が忍び寄る可能性が常にありますいくつかの証拠に。

これらの公理の1つが必要な場所を知っているTCSで最も印象的な例は何ですか？（例を知っていますか？）

少しだけ予言するために、（すべてのチューリングマシンのセットに対する）対角化引数は、選択の公理の適用ではないことに注意してください。チューリングマシンが定義する言語は無限ビット文字列ですが、各チューリングマシンには有限の記述があるため、ここでは無限に多くの無限集合に対して選択関数を実際に必要としません。

（例がどこから来るのかわからないので、多くのタグを付けました。）

ZFCで証明可能な算術ステートメントはすべてZFで証明可能であるため、選択の公理は「必要」ではありません。「算術」ステートメントとは、算術の1次言語のステートメントを意味します。これは、自然数の数量詞のみを使用して記述できることを意味します（「すべての自然数x」または「自然数xが存在する」）、自然数のセットを定量化することなく。一見すると、整数のセットの定量化を禁止することは非常に制限的に見えるかもしれません。ただし、整数の有限セットは単一の整数を使用して「エンコード」できるため、整数の有限セットを定量化してもかまいません。

事実上、TCSに関心のあるすべてのステートメントは、おそらく多少の苦労を伴いながら、算術ステートメントとして表現できるため、選択の公理は必要ありません。たとえば、は、一見すると無限の整数セットに関するアサーションのように見えますが、「すべての多項式時間チューリングマシンには、間違ったSATインスタンスが存在する」と言い換えることができます。ステートメント。したがって、ライアンの質問に対する私の答えは、「私が知っていることはありません」です。$P\ne NP$

しかし、ケーニヒの補題やクラスカルのツリー定理のような何かを証明する算術ステートメントについてはどうでしょうか？これらは弱い公理の選択を必要としませんか？答えは、問題の結果を正確に記述する方法に依存するということです。たとえば、「ラベルのないグラフの無限のセットがある場合、一方が他方のマイナーであるようなグラフが2つ存在する必要があります」という形式でグラフのマイナー定理を述べる場合、行進するにはある程度の選択が必要ですデータの無限のセット、頂点、サブグラフなどの選択。[編集：ここで間違えました。通りエミールJeřábekは説明します、グラフのマイナー定理、または少なくともACがない場合の最も自然な記述は、ZFで証明可能です。しかし、この間違いを法として、私が以下で言うことは本質的に正しいです。]ただし、代わりにラベル付き有限グラフ上のマイナー関係の自然数による特定のエンコーディングを書き留め、この特定の半順序に関するステートメントとしてグラフのマイナー定理を表現する場合、ステートメントは算術的になり、ACを必要としませんの証拠。

ほとんどの人は、グラフのマイナー定理の「組み合わせの本質」が特定のエンコーディングを修正するバージョンによってすでにキャプチャされていること、そしてあなたが一般的なセットを提示された場合には、すべてをラベル付けするためにACを呼び出す必要性を感じます問題の理論的なバージョンは、人の論理的基盤として算術ではなく集合論を使用するという決定の一種の無関係なアーティファクトです。同じように感じるなら、グラフのマイナー定理はACを必要としません。（Ali EnayatによるFoundations of Mathematicsメーリングリストへのこの投稿も参照してください。これは、私がかつて持っていた同様の質問への回答として書かれたものです。）

平面の色数の例も同様に解釈の問題です。ACを想定している場合は同等であることが判明するさまざまな質問がありますが、ACを想定していない場合は明確な質問です。TCSの観点から見ると、問題の組み合わせの中心は、平面の有限部分グラフの彩色性であり、（必要に応じて）コンパクトネス引数（これがACの出番）を使用して何かを結論付けることができるという事実です。面全体の色数についてはおもしろいですが、やや接線的な興味があります。だから、これは本当に良い例だとは思わない。

最終的には、（ACではなく）解決のために大きな基数の公理を必要とするTCSの質問があるかどうかを尋ねる運がもっとあると思います。ハーベイ・フリードマンの研究は、グラフ理論の特定の初期のステートメントが大きな基数公理（または少なくともそのような公理の1一貫性）を必要とする可能性があることを示しました。フリードマンのこれまでの例は少し人工的なものですが、私たちの生涯の中でTCSに同様の例が「自然に」現れるのを見て驚かないでしょう。

私の理解では、ロバートソン・シーモアの定理の既知の証明は、選択の公理を使用しています（クラスカルのツリー定理を介して）。これはTCSの観点からはかなり興味深いものです。Robertson-Seymourの定理は、任意のマイナークローズグラフファミリのメンバーシップテストを多項式時間で実行できることを示しているためです。つまり、選択の公理を間接的に使用して、特定の問題に対して多項式時間アルゴリズムが存在することを、それらのアルゴリズムを実際に構築することなく証明できます。

ただし、ACが実際に必要かどうかは明確ではないため、これは探しているものとは異なる場合があります。

これは、Janne Korhonenの回答に関連しています。

80年代および90年代には、クラスカルツリー定理（KTT、元のKTTは1960年から）の拡張を証明するために必要な公理系（言い換えれば、算術理論）を特徴付けようとする一連の結果がありました。特に、ハーヴェイ・フリードマンはこの線に従っていくつかの結果を証明しました（SGシンプソンを参照してください。有限木の特定の組み合わせ特性の非証明可能性。 。これらの結果は、KTT（の特定の拡張）が「強力な」内包公理（つまり、高度な論理的複雑性の特定のセットが存在するという公理）を使用する必要があることを示しました。ZFでのKTTの拡張の証明可能性について正確に知りません（選択の公理なし）。

この一連の結果と並行して、書き換えシステムを介して（「理論B」）TCSに接続する試みがありました。アイデアは、その終了がKTTの特定の（拡張）に依存する書き換えシステム（一種の関数型プログラミング、またはラムダ計算プログラムと考えてください）を構築することです（KTTと書き換えシステムの終了間の元の接続はNによって証明されました） 。Dershowitz（1982））。これは、特定のプログラムが終了することを示すには強力な公理が必要であることを意味します（KTTの拡張にはそのような公理が必要であるため）。このタイプの結果については、たとえば、A。ワイアーマン、クラスカルの定理のいくつかの有限形式の複雑さの境界、Journal of Symbolic Computation 18（1994）、463-488を参照してください。

${\mathbb R}^2$

シラとSoifer、「選択と平面の色数の公理は、」平面の全ての有限部分グラフは、その後、四色である場合に示されています

• 選択した公理を仮定すると、平面は4色になります。
• 従属選択の原則を仮定し、すべてのセットがルベーグ測定可能であれば、平面は5色、6色、または7色です。

オリビエ・フィンケルの研究の一部は、質問に関連しているようです。選択の公理自体について必ずしも明示的にではありませんが、ティモシー・チョウの答えと一致しています。例えば、有限語上の不完全性定理、大きな基数、オートマトンの要約を引用する、TAMC 2017、

$T_n := ZFC + \text{``There exist (at least) $n$ inaccessible cardinals''}$$n \geq 0$

[これはあなたの質問に対する直接的な答えではありませんが、一部の人々にとっては示唆的および/または有益な場合があります。]

ウィリアム・ガザークのP対NP世論調査は、「P対NPの解決方法」に関する統計を提供しています。

1. 61はP≠NPと考えました。
2. 9はP = NPと考えました。
3. 4は独立していると思った。特定の公理系は言及されていませんが、彼らはそれがZFCから独立していると思うと思います。
4. 3は、Primitive Recursive Arithmetic とは独立していないと述べました。
5. 1は、モデルに依存すると述べた。
6. 22は意見を述べなかった。

ウィキペディアには、独立に関する興味深い見解があります。

...これらの障壁により、一部のコンピューター科学者は、P対NPの問題がZFCのような標準公理システムから独立している可能性があることを示唆するようになりました（その中で証明または反証することはできません）。独立性の結果の解釈は、NP完全問題に対して多項式時間アルゴリズムが存在せず、そのような証明を（たとえば）ZFCで構築できないか、NP完全問題の多項式時間アルゴリズムが存在する可能性がある、しかし、そのようなアルゴリズムが正しいことをZFCで証明することは不可能です[ 1]。ただし、現在適用可能であることが知られている種類の手法を使用して、整数演算のペアノ公理（PA）を拡張するはるかに弱い仮定でも問題を決定できないことを示すことができる場合、必然的にほぼ存在します。 NP [ 2 ]のすべての問題に対する多項式時間アルゴリズム。したがって、NPのすべての問題に効率的なアルゴリズムがあるわけではないと（ほとんどの複雑性理論家が信じているように）考えれば、これらの手法を使用した独立性の証明は不可能です。さらに、この結果は、現在知られている手法を使用してPAまたはZFCから独立していることを証明することは、NPのすべての問題に対する効率的なアルゴリズムの存在を証明することよりも簡単ではないことを意味します。

$ZF$

$G$$\chi(H)$$H$$G$$G$

$ZF$