PからNP-hardおよび再び戻るパラメータ化された複雑さ

私は番号によってパラメータ問題の例を探しています$k \in \mathbb{N}$問題の硬さがあり、非単調に$k$。例示のために（私の経験で）ほとんどの問題は、単一の相転移を有する$k$ -SATから単相転移有する$k \in \{1,2\}$ために（問題はPである）$k \ge 3$の問題はNP-あります（コンプリート）。私は、kが増加するにつれて両方向（簡単なものからハードなもの、そしてその逆）に相転移がある問題に興味があります。$k$

私の質問は、計算の複雑さの難易度ジャンプで尋ねられた質問にいくらか似ており、実際、そこにある回答のいくつかは私の質問に関連しています。

私が知っている例：

1. $k$平面グラフの彩色性：Pでは、場合を除き、$k=3$NP完全です。
2. $k$端子を備えたシュタイナーツリー：$k=2$（最短$s$ - $t$パスに崩壊する）および$k=n$（MSTに崩壊する）のPであるが、NP-hard "in between"。これらの相転移がシャープかどうかはわかりません（たとえば、場合はP $k_0$、場合はNP-hard $k_0+1$）。また、他の例とは異なり、の遷移は$k$入力インスタンスのサイズに依存します。
3. 平面式モジュロの満足割り当てをカウント$n$：Pで場合$n$メルセンヌある素数数$n=2^k-1$のための、および＃のP-完全最も/（？）の他のすべての値$n$（でアーロン・スターリングからこのスレッド） 。相転移がたくさん！
4. 誘導されたサブグラフの検出：問題は、整数ではなくグラフによってパラメーター化されます。そこグラフ存在$H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3$（ここで、$\subseteq$かどうかを決定れる、サブグラフ関係の特定の種類を示す）$H_i \subseteq G$所与のグラフの$G$ためPにある$i\in \{1,3\}$が、NP- 完了し$i=2$ます。（同じスレッドの Hsien-Chih Changから）。

問題の複雑さの非単調性が多い分野の1つは、プロパティテストです。ましょうすべての組であるN個の -vertexグラフ、およびコールP ⊆ G Nグラフプロパティ。一般的な問題は、グラフかどうかを決定することであるGは、プロパティ有するP（すなわち、G ∈ Pを）または`遠い」特性を有するからであるPをある意味で。Pが何であるか、およびグラフへのクエリアクセスの種類によっては、問題は非常に困難な場合があります。$\mathcal{G}_n$$n$$P \subseteq \mathcal{G}_n$$G$$P$$G \in P$$P$$P$

しかし、問題は、我々が持っている場合は非モノトーンが、その中で、あることを確認することは容易である、という事実Pはどちらかそれが意味するものではありません簡単にテスト可能であるSを簡単にテスト可能であるか、またはTです。 $S \subset P \subset T$$P$$S$$T$

これを確認するには、とP = ∅の両方が簡単にテスト可能であることを観察するだけで十分ですが、一部のプロパティには強い下限が存在します。$P = \mathcal{G}_n$$P = \emptyset$

所与のグラフのと整数K ≥ 1、K番目のパワーGで表される、GのK、同じ頂点は、2つの別個の頂点が隣接しているように設定しているGのKにおけるそれらの距離場合Gは以下であるK。K番目のパワースプリットグラフ 所与のグラフである場合、問題が尋ねK分割グラフの乗。$G$$k\ge 1$$k$$G$$G^k$$G^k$$G$$k$$k$$k$

• 以下のための、線形時間で解ける問題。これは、分割グラフの認識が線形時間で実行可能であるためです（よく知られています）。$k=1$
• 以下のために、問題は、NP完全です。これは、適切な区間、分割、および弦グラフのパワーの認識、SIAM J. Discrete Math。、18（2004）、83-102でLauとCorneilによって証明されています。$k=2$
• 以下のために、問題は簡単である：唯一の完全なグラフであるK分割グラフの目力。$k\ge 3$$k$

$\Delta$$\Delta=2$3 ⩽ Δ ⩽ $\Delta\geqslant 7$$3\leqslant\Delta\leqslant 6$

関連する質問については、ここで説明します。

グラフに以下の支配クリークがあるかどうかを判断します。$G$

• $diam(G)=1$は簡単です-答えは常に「はい」です
• $diam(G)=2$はNP完全です
• $diam(G)=3$はNP完全です
• $diam(G)\ge 4$は簡単です-答えは常に 'no'です

ケースはBrandstädtとKratschによるものであり、ケースは最近の私の論文で注目されています。d i a m （G ）= $diam(G)=3$$diam(G)=2$

これはあなたが探している現象の例ですか？

k-クリーク問題を考えます。ここで、kは、検索するクリークのサイズです。したがって、問題は「n個の頂点上のグラフGにサイズkのクリークがあるか？」です。

すべての定数kについて、問題はPにあります（ブルートフォースアルゴリズムは時間ます。）kの値が大きい場合（n / 2などの値）、NP完全です。定数cのncのようにkがnに非常に近づくと、サイズncのn頂点のすべてのサブセットを検索し、それらのいずれかがクリークを形成するかどうかを確認できるため、問題は再びPにあります。（このようなサブセットはのみであり、cが定数の場合は多項式的に大きくなります。）O （n c$O(n^k)$$O(n^c)$

探しているタイプの例があります。ただし、パラメーターは整数ではなく、数値のペアです。（そのうちの1つを修正して、1つのパラメーターの問題にすることができます。）

問題は、座標（x、y）でグラフGのTutte多項式を評価することです。座標を整数に制限できます。（x、y）が（1、1）、（-1、-1）、（0、-1）、（-1,0）のいずれかのポイントであるか、または（x-1 ）（y-1）= 1。それ以外の場合は＃P-hardです。

これは、Tutte多項式に関するウィキペディアの記事から入手しました。

法とする行列のパーマネントを計算する問題はどうですか？以下のために、K = 2、これは（永久=決定基ため）容易であり、そして（「でヴァリアント永久を計算の複雑さ」）は、モジュロ計算することができる示した2 D時間におけるO （N 4 D - 3）のために、D ≥ 2によってガウス消去法の修正版。ただし、2の累乗ではないkについては、UP-Hardです。 $k$$k=2$$2^d$$O(n^{4d-3})$$d \geq 2$$k$$2$

$t$

$t$$t$$G$$H$$G$$x$$y$$x$$y$$H$$t$$G$$t$$t$

スプリットグラフは、その頂点集合クリークと独立したセットに分割することができるグラフです。

$t \ge 3$$t$

$k$

$k \ne \Delta$$NP$

立方体グラフの場合、次を使用してエッジカラーリングの存在を決定します。

• $k=2$
• $k=3$$NP$
• $k \ge 4$

Holyer、Ian（1981）、「エッジカラーリングのNP完全性」、SIAM Journal on Computing 10：718–720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring

$\to$$\to$$\to$$\to \cdots$

$n$$n$$n$$n$

この証明はこの論文で発表されました。

$k$$k$

$G$$k=1$$G$$\sf NP$$k \in \{2,3\}$$\sf P$$k$

Chandran、L。Sunil、Deepak Rajendraprasad、およびMarekTesařを参照してください。「分割グラフの虹彩色。」arXivプレプリントarXiv：1404.4478（2014）。

$U\subseteq V(G)$$G$$G[U]$$G-U$

直径1のグラフに切断されたカットセットがあるかどうかを判断するのは簡単です。この問題は直径2のグラフではNP困難になり、 この論文 を参照してください。直径3以上のグラフでは再び簡単です。