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P対NPおよびその他のリソースに制限された計算。

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グラフ同型問題の結果にギャップ増幅タイプの結果はありますか？
仮定と頂点集合上の2つの無向グラフである。グラフは同型であるか及び順列が存在する場合にのみようまたはより正式に、順列がある場合そのようなことはエッジで場合のみにもしのエッジである。グラフ同型問題は、与えられた2つのグラフが同型かどうかを決定する問題です。G1G1G_1G2G2G_2{1,…,n}{1,…,n}\{1, \dotsc, n\}ΠΠ\PiG1=Π(G2)G1=Π(G2)G_1 = \Pi(G_2)ΠΠ\Pi(i,j)(i,j)(i,j)G1G1G_1(Π(i),Π(j))(Π(i),Π(j))(\Pi(i),\Pi(j))G2G2G_2 DinurのPCP定理の証明のスタイルで「ギャップ増幅」を生成するグラフ上の操作はありますか？換言すれば、から多項式時間計算可能変換があるにように(G1,G2)(G1,G2)(G_1,G_2)(G′1,G′2)(G1′,G2′)(G'_1,G'_2) 場合と同型で、その後、とまた同型であり、G1G1G_1G2G2G_2G′1G1′G'_1G′2G2′G'_2 場合と同形ではなく、各順列のため、グラフ「であるから-far」いくつかの小さな定数を、手段-farは場合に私たちが選ぶ一様にランダム、その後の確率でののいずれか G1G1G_1G2G2G_2ΠΠ\PiG′1G1′G'_1ϵϵ\epsilonΠ(G′2)Π(G2′)\Pi(G'_2)ϵϵ\epsilonϵϵ\epsilon(i,j)(i,j)(i,j)ϵϵ\epsilon (i,j)(i,j)(i,j)はエッジで、はエッジではない、またはG′1G1′G'_1(Π(i),Π(j))(Π(i),Π(j))(\Pi(i),\Pi(j))G′2G2′G'_2 (i,j)(i,j)(i,j)エッジでない及びのエッジである。G′1G1′G'_1(Π(i),Π(j))(Π(i),Π(j))(\Pi(i),\Pi(j))G′2G2′G'_2
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Pのどの問題について、結果を見つけるよりも結果を確認する方が簡単ですか？
NP完全問題の（検索バージョン）の場合、検証は多項式時間で実行できるため、解決策の検証は明らかに見つけるよりも明らかに簡単です。 ではP検証高速化ソリューションを見つけることよりもときに、それは明らかにいないようですので、しかし、解決策はまた、多項式時間で見つけることができます。実際、さまざまな問題はこの観点とは異なる振る舞いをしているようです。いくつかの例： 3SUM：入力番号が与えられ、それらの合計が0になる3を見つけます。私が知る限り、既知の最速のアルゴリズムは 時間で実行され、この順序は最適であると推測されます。一方、解決策の検証ははるかに高速です。必要なのは、見つかった3つの数値が実際に合計して0になることを確認するだけだからです。O （n 2 − o （1 ））nnnO(n2−o(1))O(n2−o(1))O(n^{2-o(1)}) すべてのペアの最短経路： エッジの重み付きのグラフが与えられた場合、最短経路距離行列を計算します。そのような行列が与えられたら、それを再計算するよりも、それが実際に正しい距離行列であることをより速くチェックできますか？私の推測では、答えはおそらく「はい」ですが、3SUMほど明白ではありません。 線形計画。クレームされた最適なソリューションが提供されている場合、補助情報も提供されている場合、最適なソリューションを再計算するよりも簡単に確認できます（最適なデュアルソリューション）。一方、主解のみが利用可能な場合、実際にLPを解くよりも、より速くチェックできるかどうかは明確ではありません。 質問：この主題について何が知られていますか？つまり、解を見つけるよりもPの問題の解を検証する方が簡単なのはいつですか？
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（ポリログ空間の代わりに）なぜログ空間を効率的な計算のモデルと考えるのですか？
これは、具体的な答えがあるのではなく、主観的な質問かもしれませんが、とにかくです。 複雑性理論では、効率的な計算の概念を研究します。が多項式時間を表し、Lが対数空間を表すようなクラスがあります。どちらも一種の「効率」として表されると考えられており、いくつかの問題の難しさをかなりうまく捉えています。PP\mathsf{P}LL\mathsf{L} ただし、とLには違いがあります。多項式時間Pは、定数kに対してO （n k）時間で実行される問題の和集合として定義されます。PP\mathsf{P}LL\mathsf{L}PP\mathsf{P}O(nk)O(nk)O(n^k)kkk 、P=⋃k≥0TIME[nk]P=⋃k≥0TIME[nk]\mathsf{P} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{TIME[n^k]} ログ空間はS P A C E [ log n ]として定義されます。Pの定義を模倣すると、LL\mathsf{L}SPACE[logn]SPACE[log⁡n]\mathsf{SPACE[\log n]}PP\mathsf{P} 、PolyL=⋃k≥0SPACE[logkn]PolyL=⋃k≥0SPACE[logk⁡n]\mathsf{PolyL} = \bigcup_{k \geq 0} \mathsf{SPACE[\log^k n]} ここで、はポリログ空間のクラスと呼ばれます。私の質問は：PolyLPolyL\mathsf{PolyL} 効率的な計算の概念として、ポリログ空間ではなくログ空間を使用するのはなぜですか？ 主な問題の1つは、完全な問題セットに関するものです。ログスペースの多対一の削減では、とLの両方に完全な問題があります。対照的に、P o l y Lがそのような削減のもとで完全な問題を抱えている場合、空間階層定理と矛盾します。しかし、ポリログ削減に移行した場合はどうなりますか？このような問題を回避できますか？一般に、P o l y Lを効率の概念に適合させ、（必要に応じて）いくつかの定義を変更して、「素敵な」クラスに必要なすべてのプロパティを取得する場合、どこまで行けますか？PP\mathsf{P}LL\mathsf{L}PolyLPolyL\mathsf{PolyL}PolyLPolyL\mathsf{PolyL} ポリログ領域の代わりにログ領域を使用する理論的および/または実用的な理由はありますか？
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数学者が複雑性理論の現在の研究を常に把握する方法
複雑性理論は私の二次的な強い関心ですが、私の主な研究関心ではないため、すべての会議に参加し、すべてのブログを読み、「イン」クラウドcc：ホットニュース。私はこれのいくつかをやろうとしますが、どの方法が私に最高の価値を与えるのか疑問に思っています（または、このコンテキストではお金よりも時間の方が制限要因です）私が試みたいくつかの方法が含まれます： STOC / FOCSの手順を確認してください。これは多くの場合、それらが（多少）古いニュースになるまで突破口について聞かないことを意味しますが、最終的にニュースをキャッチする可能性がある限り、それは私の観点からは問題ありません。追跡すべき他の手続きはありますか？ Los Alamos ArXivを購読します。これを使用する複雑性理論家は何人ですか？他に見るべきプレプリントサーバーはありますか？ ブログを読む。私はしばらくこれを試してみましたが、ブログが多すぎて、最新の状態を維持するための非常に非効率的な方法であるため、多かれ少なかれあきらめました。 私が逃したものは何ですか？繰り返しますが、私の焦点は、遅れをとらないように考えられるすべてのことをするのではなく、時間効率の良い方法を見つけることにあります。 編集：すべての回答をありがとう。ソフトウェアで許可されている場合は、複数の回答を受け入れます。私のややarbitrary意的な選択は、以前ECCCとCCCのことを聞いたことを今思い出しているという事実に基づいていますが、Blog Aggregatorについてはまったく知りませんでした。
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木のNP困難な問題
一般的なグラフでNP困難であることが知られているいくつかの最適化問題は、入力グラフがツリーの場合、多項式時間（線形時間でも）で簡単に解決できます。例には、最小頂点カバー、最大独立セット、サブグラフ同型が含まれます。ツリー上でNPハードのままであるいくつかの自然な最適化問題に名前を付けます。
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結果どのようなもの
我々は知っているL⊆NL⊆PL⊆NL⊆P\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}とそのL⊆NL⊆L2⊆L⊆NL⊆L2⊆\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2 \subseteq polyLpolyL\mathsf{polyL}、L2=DSPACE(log2n)L2=DSPACE(log2⁡n)\mathsf{L}^2 = \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)。また、polyL≠PpolyL≠P\mathsf{polyL} \neq \mathsf{P}後者は、対数空間の多対1削減の下で完全な問題を抱えているのに対し、前者はそうではないからです（空間階層定理のため）。間の関係を理解するために、polyLpolyL\mathsf{polyL}とPP\mathsf{P}、それが第一の関係を理解するのを助けることができるL2L2\mathsf{L}^2及びPP\mathsf{P}。 結果どのようなものL2⊆PL2⊆P\mathsf{L}^2 \subseteq \mathsf{P}？ どのような強い程度Lk⊆PLk⊆P\mathsf{L}^{k} \subseteq \mathsf{P}のためk>2k>2k>2、またはより弱いL1+ϵ⊆PL1+ϵ⊆P\mathsf{L}^{1 + \epsilon} \subseteq \mathsf{P}のためのϵ>0ϵ>0\epsilon > 0？
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複雑性理論に保存則はありますか？
いくつかの例から始めましょう。CVPがPにあることを示すのはそれほど簡単ではないが、LPがPにあることを示すのはそれほど難しいのはなぜですか。どちらもP完全な問題です。 または素数を取ります。NPのプライム（Prattが必要）および最終的にはPのプライムよりもNPのコンポジットを表示する方が簡単です。なぜこの非対称性を表示する必要があったのですか？ ヒルベルト、創造性の必要性、証拠がNPにあるなどを知っています。しかし、それは、目に見える以上のものがあるという気まぐれな感覚を私が止めることはありません。 「作業」の定量化可能な概念はありますか？複雑性理論には「保存則」がありますか？たとえば、CVPとLPはどちらもP完全であるにもかかわらず、「異なる場所」で複雑さを隠していることを示しています。他の言語の表現可能性。 他の人も気分が悪く、洞察力がありますか？または、私たちはこれを計算の性質であると肩をすくめて言います。 これは、フォーラムに対する私の最初の質問です。 編集： CVPはCircuit Value Problem、LPは線形計画法です。 混乱を指摘してくれたSadeqに感謝します。
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因数分解のNP完全バリアント。
Arora and Barakの本は、ファクタリングを次の問題として提示しています。 FACTORING={⟨L,U,N⟩|(∃ a prime p∈{L,…,U})[p|N]}FACTORING={⟨L,U,N⟩|(∃ a prime p∈{L,…,U})[p|N]}\text{FACTORING} = \{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists \text{ a prime } p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\} さらに第2章では、が素数であるという事実を取り除くと、この問題がNP完全になると付け加えていますが、これは数値の因数分解の難しさとは関係ありません。SUBSETSUMから削減できるように見えますが、私はそれを見つけることができなくなりました。この辺りでもっと良い運がありますか？ppp 編集3月1日：報奨金は、確定的Karp（またはCook）削減を使用した完全性の証明です。NPNPNP
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一般化されたラドナーの定理
ラドナーの定理によれば、P≠NPの場合、Pを厳密に含み、NPに厳密に含まれる複雑度クラスの無限階層が存在します。この証明は、NPの多対1削減の下でのSATの完全性を使用しています。階層には、ある種の対角化によって構築された複雑度クラスが含まれ、各クラスには、下位クラスの言語が多対1で還元できない言語が含まれています。 これは私の質問の動機です： Cを複雑度クラス、Dを厳密にCを含む複雑度クラスとする削減？ より具体的には、削減の適切な概念について、D = PおよびC = LOGCFLまたはC = NCで既知の結果があるかどうかを知りたいと思います。 Ladnerの論文には、空間限定クラスCの定理7がすでに含まれています。Kavehが答えで指摘したように。最強の形で言うと、NL≠NPの場合、NLとNPの間には、厳密に硬度が増加する無限の言語シーケンスが存在します。これは、P≠NPを条件とする通常のバージョン（定理1）よりも少し一般的です。しかし、ラドナーの論文では、D = NPのみが考慮されています。
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チョムスキー階層は古くなっていますか？
Chomsky（–Schützenberger）階層は、理論的なコンピューターサイエンスの教科書で使用されていますが、完全なComplexity Zoo Diagramと比較して、明らかに形式言語（REG、CFL、CSL、RE）のごく一部しかカバーしていません。階層は現在の研究でもう役割を果たしていますか？私はここcstheory.stackexchangeでチョムスキーに少しだけの参照を見つけ、中に複雑動物園の名前チョムスキーとSchützenbergerは一切言及されていません。 現在の研究は、正式な文法以外の記述の他の手段に焦点を合わせていますか？私は、表現力の異なる形式言語を記述する実用的な方法を探していましたが、コンテキストセンシティブ言語（GCSL）と目に見えるプッシュダウン言語（VPL）の両方に出会いました。Chomsky階層を更新してそれらを含めるべきではありませんか？または、複雑なクラスの完全なセットから特定の階層を選択する必要はありませんか？私が理解している限り、チョムスキー階層のギャップに収まる言語のみを選択しようとしました。 REG（= Chomsky 3）⊊VPL⊊DCFL⊊CFL（= Chomsky 2）⊊GCSL⊊CSL（= Chomsky 1）⊊R⊊RE 自然言語処理には実用的な関連性があるように見えますが、「マイルドな文脈依存言語」と「インデックス付き言語」（CFLとCSLの間）がどこに収まるのかはまだわかりません（しかし、実用的な関連性はあまり面白くないです）理論的研究;-)。さらに、GCSL⊊P⊂NP⊂PSPACEおよびCSL⊊PSPACE⊊Rに言及して、有名なクラスPおよびNPとの関係を示すことができます。 私はGCSLとVPLで見つけました： ロバートマクノートン：チョムスキー階層への挿入？で：宝石は永遠に、Arto Salomaaの名誉における理論的コンピューターサイエンスへの貢献。S. 204-212、1999 http://en.wikipedia.org/wiki/Nested_word#References（VPL） また、VPL、DCLF、GCSL、およびインデックス化された文法も扱っている正式な文法に関する最新の教科書を知っていれば幸いです。実用的なアプリケーションへのポインタが望ましいです。
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死んだ推測の死亡記事
ある時点で多くの人に信頼されていると考えられていたアルゴリズムと複雑さについての推測を探していますが、後にそれらは反証の台頭により反証されるか、少なくとも信じられませんでした。以下に2つの例を示します。 ランダムオラクル仮説：ほとんどすべての相対化された世界に適用される複雑性クラス間の関係は、相対化されていない場合にも適用されます。これは、結果によって反証され、がほぼすべてのランダムなオラクルに適用されることを示すことにより、「ランダムなオラクル仮説は偽」を参照してください。I P X ≠ P S P A C E X XIP=PSPACEIP=PSPACEIP=PSPACEIPX≠PSPACEXIPX≠PSPACEXIP^X\neq PSPACE^XXXX 有界エラーのランダム性は、多項式時間のパワーを適切に拡張します（つまり、）。これはしばらくの間信じられていましたが、後に、洗練されたランダム化解除の結果と回路の複雑性への接続のために、反対の推測（）が普及しました（まだ開いています）。P = B P PP≠BPPP≠BPPP\neq BPPP=BPPP=BPPP=BPP 時の試練に失敗した他の推測はどれですか？
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Metric TSPの近似アルゴリズム
メトリックTSPは以内で近似でき、多項式時間でを近似できないことが知られています。指数時間（たとえば、多項式空間のみでステップ未満）で近似解を見つけることについて何か知られていますか？たとえば、距離が最大ツアーを見つけることができる時間と空間は何ですか？1231.51.51.5 2n1.1×OPT123122123122123\over 1222n2n2^n1.1 × O PT1.1×OPT1.1\times OPT
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計算の複雑さにおけるコルモゴロフの複雑さの応用
非公式的に言えば、文字列のコルモゴロフ複雑性出力がその最短番組の長さ。それを使用して「ランダム文字列」の概念を定義できます（場合、はランダムです）。ほとんどの文字列がランダムであることがわかります（短いプログラムはそれほど多くありません）。X X K （X ）≥ 150 | x |バツxxバツxxバツxxK（X ）≥ 150 | x |K(x)≥0.99|x|K(x) \geq 0.99 |x| コルモゴロフ複雑性理論とアルゴリズム情報理論は、最近非常に発達しています。また、コルモゴロフの複雑さに関する記述に何も含まれていないさまざまな定理の証明でコルモゴロフの複雑さを使用するいくつかの面白い例があります（建設的なLLL、ルーミス-ホイットニーの不等式）。 計算の複雑さおよび関連分野でコルモゴロフの複雑さとアルゴリズム情報理論の優れたアプリケーションはありますか？Kolmogorovの複雑さを単純なカウント引数の単純な置換として使用する結果があるはずです。もちろん、これはそれほど興味深いものではありません。
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統合性ギャップの重要性
積分ギャップ（IG）とその限界の重要性を理解するのにいつも苦労しました。IGは、問題の緩和の最適な実際の解（の品質）に対する最適な整数の回答（の品質）の比率です。例として頂点カバー（VC）を考えてみましょう。VCは、次の一連の線形方程式の最適な整数解を見つけることと言えます。 我々は、ゼロ/ 1値の変数を有するxvxvx_v各頂点に対するSをv∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)グラフGGG。式は次のとおり0≤xv≤10≤xv≤10 \leq x_v \leq 1のためのv∈V(G)v∈V(G)v\in V(G)、及び1≤xv+xu1≤xv+xu1 \leq x_v+x_u各辺のuv∈E(G)uv∈E(G)uv \in E(G)。我々は最小限に抑えられます値を探している∑v∈V(G)xv∑v∈V(G)xv\sum_{v \in V(G)} x_v。 この問題を緩和すると、000から間の実数値が許可される111ため、解の空間が大きくなり、最適な実解は、求める最適な整数解よりも小さくなります。したがって、整数解を見つけるために、線形計画法から得られた最適な実際の答えに対して「丸め」プロセスを実行する必要があります。最適な整数解は、最適な実数解と丸めプロセスの結果の間になります。IGは、最適な整数解と最適な実数解の比であり、丸め処理については何も言いません。丸めプロセスは（理論上）実際の解を完全に無視し、最適な整数解を直接計算できます。 なぜ人々はIGの限界を証明することに興味があるのですか？
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