計算の複雑さにおけるコルモゴロフの複雑さの応用

非公式的に言えば、文字列のコルモゴロフ複雑性出力がその最短番組の長さ。それを使用して「ランダム文字列」の概念を定義できます（場合、はランダムです）。ほとんどの文字列がランダムであることがわかります（短いプログラムはそれほど多くありません）。X X K （X ）≥ 150 | x $x$$x$$x$$K(x) \geq 0.99 |x|$

コルモゴロフ複雑性理論とアルゴリズム情報理論は、最近非常に発達しています。また、コルモゴロフの複雑さに関する記述に何も含まれていないさまざまな定理の証明でコルモゴロフの複雑さを使用するいくつかの面白い例があります（建設的なLLL、ルーミス-ホイットニーの不等式）。

計算の複雑さおよび関連分野でコルモゴロフの複雑さとアルゴリズム情報理論の優れたアプリケーションはありますか？Kolmogorovの複雑さを単純なカウント引数の単純な置換として使用する結果があるはずです。もちろん、これはそれほど興味深いものではありません。

Lance Fortnowはこのトピックに関する記事を書いています：Kolmogorov Complexity and Computational Complexity

また、このテーマに関する決定的な本であるLiとVitanyiによる「コルモゴロフの複雑性とその応用の紹介」も参照してください。特に、第6章「非圧縮性の方法」では、Hastadのスイッチング補題のコルモゴロフ複雑性証明（FortnowとLaplanteによるKolmogorovのCircuit Lower Boundsから）など、複雑な多くのアプリケーションについて説明しています。

また、通信の複雑さにもアプリケーションがあります（例：Kolmogorov ComplexityおよびCombinatorial Methods in Communication Complexity by Kaplan and Laplante）。

ほんの数日前、スコットアーロンソンはコルモゴロフの複雑さに基づいた議論を使って、サンプリングと検索の等価性を示しました。さらに彼は、彼の議論でコルモゴロフの複雑さは本質的な方法で使用されており、それは単に数え上げの議論の近道ではないと主張する。

アロン等によるこの結果。コルモゴロフの複雑さによって取得できます。

「すべての有限2部グラフのエッジEのセットをサブセットに分割して、結果のすべての2部グラフをほぼ規則的にすることができます」。$\mathrm{poly}(\log |E|)$

私が知っている優れた論文（他の回答で言及された他の優れた論文に加えて）：

ジュリス・ハートマニス、一般化されたコルモゴロフの複雑さと実行可能な計算の構造、FOCS 1983。

私がその論文から覚えている主なことは、コルモゴロフの複雑さに基づいた、PとNPを分離する神託の構築です。

頭に浮かぶもう一つの論文は

Allender et al。、Power from Random Strings、FOCS 2002（ECCCバージョン）およびSICOMP 2006。

思い出すと、後者の論文では、Kolmogorovの複雑さの引数を使用して、PSPACEでの多項式時間チューリング完全性と対数空間多対一完全性を分離しています。もちろん、他にも多くのことを行いますが、私は、分離がアルゴリズム情報理論以外の独立した関心のある1つのアプリケーションであることを思い出します。

コルモゴロフの複雑度を使用する量子下限手法もあります。

「コルモゴロフ引数を使用したランダム化された量子クエリの複雑さの下限」ソフィー・ラプランテとフレデリック・マグニーズ

$s$$K(s)$

（深刻な話です。）最近、ダニール・ムサトフは、ナイーブデランダム化が、確率的方法によって非構造的に存在することが通常示されるオブジェクトに合理的な構成を提供できることを示しました。これは、リソースに制約のあるコルモゴロフの複雑さから計算の複雑さへの重要な将来のアプリケーションを提供する可能性が高いと思います。

• ダニエル・ムサトフ、 「ナイーブ」デランダム化によるムヒニックの条件付き複雑性定理の空間限定版の改善、CSR 2011、LNCS 6651、64–76。土井：10.1007 / 978-3-642-20712-9_6 （preprint）

これを引用した論文も参照してください。

（編集：後の公開バージョンへのリンク。）

H.バースマン、L。フォートノウ、S。ラプランテ。リソースに制限のあるコルモゴロフの複雑さの再検討。SIAM Journal on Computing、31（3）：887-905、2002。（journal、LanceのWebページ）。

次のようなコルモゴロフ複雑性のアプリケーションが含まれます。

• Valiant-Vaziraniの証拠
• ブール式の満足のいく割り当ては、一意の割り当てがすぐに見つかる場合に限り、出力サイズの時間多項式で列挙できます。
• BPPがSigma_2 Pにあるという新しい証拠
• いくつかのオラクル構造

上記のいくつかはこの論文で最初に証明されましたが、他のものはコルモゴロフの複雑さを使用した古い定理の単なる新しい証明です。

複雑性理論における時間制限コルモゴロフ複雑性の適用は、他のアプリケーションのエリックアレンダーによる素晴らしい調査です。ここでの結果の多くは意味合いですが、次のような真のアプリケーションもあります。

• Cor 13：一般的なオラクルと比較して、P / polyの敵に対して安全な擬似ランダムジェネレータはありません。
• Thm 16 [Allender and Gore、1991]：すべてのNE述語が指数時間で解けるオラクルがあり、E = Union_k \ Sigma_k-TIME（n）。

両方の証明は、コルモゴロフの複雑さを大幅に使用します。

$D$$D$

最小記述長は、情報理論的学習および推論理論でコルモゴロフの複雑さ（または、決定不能性による近似および一般化）を使用します。特に、MDLは、過剰適合を自然に回避するデータの説明を見つけるために使用されます。

Jorma Rissanenは、彼のコンセプトを紹介しています：http : //www.mdl-research.org/jorma.rissanen/pub/Intro.pdf

このような意味ですか、イリヤラス？

http://arxiv.org/abs/1004.3993