統合性ギャップの重要性

積分ギャップ（IG）とその限界の重要性を理解するのにいつも苦労しました。IGは、問題の緩和の最適な実際の解（の品質）に対する最適な整数の回答（の品質）の比率です。例として頂点カバー（VC）を考えてみましょう。VCは、次の一連の線形方程式の最適な整数解を見つけることと言えます。

我々は、ゼロ/ 1値の変数を有する$x_v$各頂点に対するSを$v \in V(G)$グラフ$G$。式は次のとおり$0 \leq x_v \leq 1$のための$v\in V(G)$、及び$1 \leq x_v+x_u$各辺の$uv \in E(G)$。我々は最小限に抑えられます値を探している$\sum_{v \in V(G)} x_v$。

この問題を緩和すると、$0$から間の実数値が許可される$1$ため、解の空間が大きくなり、最適な実解は、求める最適な整数解よりも小さくなります。したがって、整数解を見つけるために、線形計画法から得られた最適な実際の答えに対して「丸め」プロセスを実行する必要があります。最適な整数解は、最適な実数解と丸めプロセスの結果の間になります。IGは、最適な整数解と最適な実数解の比であり、丸め処理については何も言いません。丸めプロセスは（理論上）実際の解を完全に無視し、最適な整数解を直接計算できます。

なぜ人々はIGの限界を証明することに興味があるのですか？

$x$$x$

それでは、なぜ別のLPリラクゼーションを考え出すか、他のテクニックに切り替えて先に進んでみませんか？線形および凸プログラミングは、近似アルゴリズムの中心であることが証明されています。多くの問題では、自然なLPまたはSDPの定式化の積分ギャップは、最適なアルゴリズムの近似比と近似比の硬さに等しくなります。これは経験的な観察に過ぎませんが、積分ギャップの証明は、アルゴリズムの改善や下限の結果がはるかに強いことを示唆する可能性があることを意味します。

この現象には、より深く厳密な理由があるかもしれません。たとえば、一意のゲーム予想を仮定すると、制約充足問題の近似比と非近似比は、単純なSDP緩和の積分ギャップに等しいことが知られています（すべてのCSPの最適アルゴリズムと非近似結果を Prasad Raghavendraで参照）。

$P \neq NP$

$a$$c$$a/c$$a$$1/c$

$I$$I$

積分ギャップは、IPをどれだけ近似できるかを示す有用な指標です。非公式で直感的な方法で考える方が良いかもしれません。高い積分ギャップは、特定の方法が機能しないことを意味します。たとえば、特定の主/双対法は、小さな積分ギャップに依存します。標準の主頂点カバーLPの場合、デュアルLPは最大一致を要求します。この場合、次のことができます。

• デュアルLP に対する最適な分数解を見つける（最大分数マッチング）$\boldsymbol{y}$
• 解に係数2を掛ける（すべてのエッジの重みを2倍にする）$\boldsymbol{y}$
• これを、原始LPの実行可能な積分に変換します（各エッジは、ベクトルからベクトルの各エンドポイントへの重みの半分を与え、各は）に置き換えられました。$\boldsymbol{x}$$2\boldsymbol{y}$$\boldsymbol{x}$$x_i$$\min(\lfloor x_i\rfloor, 1)$

この場合、この単純な戦略は機能し、最終LPの実行可能な積分解になります。その重みは、デュアルLPの実行可能な解の2倍以下です。デュアルLPの実行可能なソリューションの重みはOPTの下限であるため、これは2近似アルゴリズムです。

さて、一体性のギャップはどこから来るのでしょうか？この場合、IGは2ですが、それだけではアルゴリズムが機能することを意味しません。むしろ、動作する可能性があることを示唆しています。IGが2を超える場合、単純な戦略が常に機能するとは限りません。少なくとも、デュアルソリューションにIGを掛ける必要があります。そのため、完全性のギャップから、うまくいかないものがわかることがあります。積分ギャップは、どのような近似係数を期待できるかも示します。わずかな完全性のギャップは、丸め戦略などを調査する価値があるアプローチであることを示唆しています。

より興味深い例として、ヒッティングセット問題と、 -nets を使用して問題を近似する強力な手法を検討してください（Brönnimann＆Goodrich、1995）。多くの問題は、ヒッティングセットのインスタンスとして定式化できます。多くの問題で成功した戦略は、これを行うことです。その後、適切なネットファインダー、つまり小さな -nets を構築し、 B＆Gメタアルゴリズム。人々は（私自身を含め）すべてのために、そのセットを叩くの制限されたインスタンスのためのネットファインダを見つけようとして、構築することができます -netサイズの、関数$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$f(1/\varepsilon)$$f$できるだけ小さくする必要があります。有する、典型的な目標です。これにより、 -近似が得られます。$f(1/\varepsilon) = \mathcal{O}(1/\varepsilon)$$\mathcal{O}(1)$

判明したように、可能な最高の関数は、ヒッティングセットの特定のLPの積分ギャップによって制限されます（Even、Rawitz、Shahar、2005）。具体的には、最適な積分および分数解は満たします。Hitting Setの無制限のインスタンスの場合、積分ギャップはですが、別の問題をHitting Setとして定式化する場合、IGを低くすることができます。この例著者らは発見する方法を示しサイズの-nets$f$$\mathrm{OPT}_I \leq f(\mathrm{OPT}_f)$$\Theta(\log(m))$$\varepsilon$$\mathcal{O}((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$軸平行ボックスをヒットする問題に対応する、ヒットセットの制限されたインスタンスの場合。このようにして、彼らはその問題に対して最もよく知られている近似係数を改善します。これを改善できるかどうかは未解決の問題です。これらの制限されたヒッティングセットインスタンスについて、ヒッティングセットLPのIGがである場合、サイズ -netsを保証するネットファインダーを設計することは不可能です。これは、サイズ整数ヒットセットを保証するアルゴリズムの存在を意味するため、以降$\Theta(\log \log m)$$\varepsilon$$o((1/\varepsilon) \log \log (1/\varepsilon))$$o(\mathrm{OPT}_f \log\log \mathrm{OPT}_f)$$\mathrm{OPT}_f\leq m$これは、より小さな完全性ギャップを意味します。したがって、積分ギャップが大きい場合、それが人々が良いネットファインダを探すために時間を浪費するのを防ぐことができることを証明します。

NP困難な最大化問題の近似アルゴリズムを考え出す場合、気にする必要のある値がいくつかあります。OPT、問題の最適値、OPT（IP）と同じ、最適問題の正しいIP定式化の価値。IPの線形緩和の最適値であるOPT（LP）もあります。

$OPT(LP) \geq OPT(IP)$

最後に、LPソリューションを丸めることにより最終的に得られるソリューションの値であるVがあります。あることを証明して、アルゴリズムが近似であることを示すことができますが、これを直接実行することはできません。ソリューションスペースを保持します。代わりに、ほとんど常に証明されているのは、です。もちろん、これは意味しが、より強力です。特に、IP定式化の積分ギャップがよりも大きい場合、上記のステートメントは一般にfalseになります。これは、丸め手順が積分ソリューションになるためです。$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$$V \geq \frac{OPT(LP)}{c}$$V > \frac{OPT(IP)}{c}$$c$

重要な点は次のとおりです。LPは、「良い」とわかっているソリューションを提供し、「ほぼ同じ」ものに丸めたいと考えています。積分ギャップが大きい場合、これは一般的に不可能です。なぜなら、LPソリューションと「ほぼ同じ」積分ソリューションを得ることが保証されている手順は決してないからです。

リラクゼーションの完全性のギャップは、丸めアルゴリズムとは何の関係もないという点で正しいです。これらは2つの異なる概念です。積分ギャップは、特定の緩和の特性です。つまり、最適な積分値と比較して、その緩和の値はどれくらい大きいのでしょうか？

なぜ線形/凸緩和を気にするのですか？積分値を効率的に近似します。したがって、通常、最適値を計算するのが難しく、効率的な近似に関心がある場合にのみ、緩和について説明します。統合性のギャップは、そのようなテクニックによって達成できるものの固有の限界を示しています。

それでは、なぜリラクゼーションに加えて丸めアルゴリズムが重要なのでしょうか？丸めアルゴリズムを使用して、最適なソリューションの値を単に近似するのではなく、最適に近いソリューションを見つけるというアルゴリズムの問​​題を解決します。さらに、最初に緩和の積分ギャップを制限するために、しばしば丸めアルゴリズムが使用されます。

技術的には、積分ギャップは特定のIPフォーミュレーションに対するものであり、（あなたが策定したように）最適な線形緩和と最適なソリューション（すべてのIPフォーミュレーションを定量化するように見える）の比率ではありません。

使用されている特定のLP定式化の限界を示すため、積分ギャップは重要です。特定の緩和の積分ギャップがであることを知っている場合、よりも優れた限界を証明したい場合は、別の定式化を使用する必要があることも知っています。$c$$c$

非常に興味深い論文「ネットワークスループットを改善するためのネットワークコーディングの利点」では、シュタイナーツリー問題の「双方向カットリラクゼーション」の積分ギャップが、ネットワーク通信の「コーディングアドバンテージ」のタイプと正確に等しいことが示されました。私は他の多くの同様の論文を知りません。ただし、シュタイナー木問題に対する一見優れたLP緩和が知られていることにも注意する必要があります（たとえば、STOC 2010のByrka et alの新しいハイパーグラフィックLPベースの近似アルゴリズムを参照してください。また、 LP）。

ほとんどの回答はすでに、インテグリティギャップを気にする主な理由に取り組んでいます。つまり、緩和によって提供される境界の使用のみに基づく近似アルゴリズムは、インテグリティギャップよりも良い比率を証明することを期待できません。積分ギャップが有用なガイドであるもう2つのメタ的な理由を挙げましょう。組み合わせ最適化問題の大規模なクラスでは、分離と最適化の等価性は、正確なアルゴリズムが問題の実行可能な解の凸包に密接に関連していることを示しています。したがって、幾何学的およびアルゴリズムの観点は非常に密接に結びついています。同様の形式的な等価性は、近似アルゴリズムでは知られていませんが、有用なガイドです-アルゴリズムは幾何学的緩和と連動します。アルゴリズムの革新は、人々が改善すべき具体的な目標を持っているときに起こります。