タグ付けされた質問 「integrality-gap」

積分ギャップ（IG）とその限界の重要性を理解するのにいつも苦労しました。IGは、問題の緩和の最適な実際の解（の品質）に対する最適な整数の回答（の品質）の比率です。例として頂点カバー（VC）を考えてみましょう。VCは、次の一連の線形方程式の最適な整数解を見つけることと言えます。 我々は、ゼロ/ 1値の変数を有するxvxvx_v各頂点に対するSをv∈V(G)v∈V(G)v \in V(G)グラフGGG。式は次のとおり0≤xv≤10≤xv≤10 \leq x_v \leq 1のためのv∈V(G)v∈V(G)v\in V(G)、及び1≤xv+xu1≤xv+xu1 \leq x_v+x_u各辺のuv∈E(G)uv∈E(G)uv \in E(G)。我々は最小限に抑えられます値を探している∑v∈V(G)xv∑v∈V(G)xv\sum_{v \in V(G)} x_v。 この問題を緩和すると、000から間の実数値が許可される111ため、解の空間が大きくなり、最適な実解は、求める最適な整数解よりも小さくなります。したがって、整数解を見つけるために、線形計画法から得られた最適な実際の答えに対して「丸め」プロセスを実行する必要があります。最適な整数解は、最適な実数解と丸めプロセスの結果の間になります。IGは、最適な整数解と最適な実数解の比であり、丸め処理については何も言いません。丸めプロセスは（理論上）実際の解を完全に無視し、最適な整数解を直接計算できます。 なぜ人々はIGの限界を証明することに興味があるのですか？

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最小化問題の近似アルゴリズムを考慮すると、この問題のIP定式化の積分ギャップは、特定のクラスのアルゴリズム（丸めアルゴリズムや主双対アルゴリズムなど）の近似比の下限を与えます。実際、最適な近似比が積分ギャップに一致する問題が数多くあります。 アルゴリズムによっては、問題の積分ギャップよりも優れた近似比を持つ場合がありますが、そのような例が存在するかどうかはわかりません。答えが「はい」の場合、いくつか例を挙げていただけますか？ いくつかの問題が複数の数学的定式化を認めることを知っています。このような場合、多項式時間で解くことができる限り、最小の積分ギャップを持つ数学的定式化を検討してください（おそらく、いくつかの定式化は分離オラクルを使用するかもしれません）。 この質問は[質問：積分ギャップの重要性]に関連しています。

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整数プログラムとその双対の値の間のギャップ（「双対ギャップ」）がゼロの場合、整数プログラムと双対の緩和の線形計画緩和は両方とも積分解（ゼロの「積分」ギャップ"）。少なくとも場合によっては、逆が成り立つかどうかを知りたい。 0-1整数プログラムがあるとします。ここで、マトリックスAは0-1マトリックスです。線形計画緩和仮定P」のPが一体化し、最適なソリューションを持っています。それでは、P 'の双対線形計画法も積分解を認めますか？0 - 1つのP ' P P 'P:max{1Tx:Ax≤1,x∈{0,1}n}P:max{1Tx:Ax≤1,x∈{0,1}n}P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}AAA0−10−10-1P′P′P'PPPP′P′P' 反例やポインタをいただければ幸いです。

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問題の解決を試みている間に、私はその一部を次の整数線形プログラムとして表現することになりました。ここで入力の一部として与えられたすべての正の整数です。変数x i jの指定されたサブセットはゼロに設定され、残りは正の整数値を取ることができます。ℓ,m,n1,n2,…,nℓ,c1,c2,…,cm,wℓ,m,n1,n2,…,nℓ,c1,c2,…,cm,w\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},wxijxijx_{ij} 最小化 ∑mj=1cj∑ℓi=1xij∑j=1mcj∑i=1ℓxij\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij} 対象： ∑mj=1xij=ni∀i∑j=1mxij=ni∀i\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i ∑ℓi=1xij≥w∀j∑i=1ℓxij≥w∀j\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j この整数プログラムが多項式時間で解けるかどうか知りたい。私の元々の問題は解決していれば解決し、そうでなければ別の方法を試さなければなりません だから私の質問は： 特定の整数線形プログラムが多項式時間で解けるかどうかはどうすればわかりますか？どの整数線形プログラムが簡単であることが知られていますか？特に、上記のプログラムは多項式時間で解くことができますか？これに関する参考文献をいくつか教えてください。

13 reference-request  linear-programming  polynomial-time  integer-programming  integrality-gap 

積分ギャップのサイズが特定のLP（またはSDP、しかしそれほど重要ではない）の何らかの式によって制限されていることを証明するための手法への参照が必要です。また、積分ギャップを最小化するためのテクニックが説明されている場所への参照があるとよいでしょう。私は積分ギャップの分野で新しいので、かなり巨大に見えるので、古典的な結果の説明は、何か熱いものの説明よりも好ましいです。

8 ds.algorithms  reference-request  linear-programming  semidefinite-programming  integrality-gap