LP（SDP）の積分ギャップの限界を証明する手法

積分ギャップのサイズが特定のLP（またはSDP、しかしそれほど重要ではない）の何らかの式によって制限されていることを証明するための手法への参照が必要です。また、積分ギャップを最小化するためのテクニックが説明されている場所への参照があるとよいでしょう。私は積分ギャップの分野で新しいので、かなり巨大に見えるので、古典的な結果の説明は、何か熱いものの説明よりも好ましいです。

— グリゴリー・ヤロスラフツェフ
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タイトル「LP（SDP）の整合性のギャップ」は一般的すぎるため、質問のタイトルを具体的にすることをお勧めします。タイトルはタグではありません。「LP（SDP）の積分ギャップの限界を証明するためのテクニック」のような質問を記載する必要があります。

— Kaveh

回答:

議論のために、目的関数最小化問題を考えます。私の頭の上には、一体性のギャップを証明するための支配的なテクニックは考えられません。通常、証明の概要は、積分ギャップの定義によって暗示される形式であり、詳細は問題固有です。 $f(x)$

積分ギャップが小さい（つまり、LPが良い）ことを示すには、次の証明の概要が通常です。ある種の丸め（多くの場合、ランダム化）を使用して、LP実行可能なすべての（およびすべての問題のインスタンス）に対して、でを構築します。したがって、積分ギャップはせいぜいです。 $x'$ $f(x') \le c\cdot f(x)$ $x$ $c$

積分ギャップが大きいことを示すために、次の概要が通常です。安価なLP実行可能ソリューションを使用して問題のインスタンスを提示し、優れた統合ソリューションがないことを証明します。

— ウォーレンシュディ
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それのように見えはする必要があります

、右？

f (x^{'}) \leq c f (x)

$f(x') \le c f(x)$

— Grigory Yaroslavtsev

おかげで、ギャップのサイズの上限を証明するために説明したアプローチは、まさに私がやっていることです。構築

私の場合は問題ではありません、と私は不等式を証明する必要があり

。これは問題固有の方法で行われるため、同じクラスの同様の問題に一般化することはほとんどできないため、このための一般的な仕組みが存在するかどうか知りたいと思いました。

x^{'}

$x'$

f (x^{'}) \leq c f (x)

$f(x') \le c f(x)$

— Grigory Yaroslavtsev

x^{'}

$x'$

f (x^{'})

$f(x')$

ウォーレンのノートに追加するために、ますます洗練された（さらには依存性のある）丸めスキーム、および丸めが実現可能性を悪い方法で損なう可能性のある問題をパッキング/カバーするスキームさえあります。問題が何であるかに応じて、より高度な参照が利用可能です。

— Suresh Venkat

これは、あなたが望むものにはやや重い機械ですが、望ましい整数プログラムにますます近づく、より洗練されたLP（SDP）を設計するための技術に関する多くの作業がありました。これらのアプローチをレビューする優れたリファレンスは、Monique Laurentによるものです：0-1プログラミングのためのSherali-Adams、Lovasz-SchrijverおよびLaserre Relaxationsの比較。

それとは別に、私は単一の優れた参照元を認識していません。少なくとも、Vijay Vaziraniの本の関連する章をよく読んだと思いますか。

— Suresh Venkat
ソース

ありがとうございます。最初の参照は、私が念頭に置いて回避しようとしたものです。可能であれば、もっと簡単なものにしたいと考えています。

— Grigory Yaroslavtsev

Vijayの本に関しては、それは積分ギャップの概念を簡単に説明し、一般的なテクニックを与えることなく、特定の問題の議論に行きます。積分ギャップの概念とそれに関連する結果は、近似アルゴリズムの結果とは非常に異なる可能性があると思います。

— Grigory Yaroslavtsev