積分ギャップと近似比

最小化問題の近似アルゴリズムを考慮すると、この問題のIP定式化の積分ギャップは、特定のクラスのアルゴリズム（丸めアルゴリズムや主双対アルゴリズムなど）の近似比の下限を与えます。実際、最適な近似比が積分ギャップに一致する問題が数多くあります。

アルゴリズムによっては、問題の積分ギャップよりも優れた近似比を持つ場合がありますが、そのような例が存在するかどうかはわかりません。答えが「はい」の場合、いくつか例を挙げていただけますか？

いくつかの問題が複数の数学的定式化を認めることを知っています。このような場合、多項式時間で解くことができる限り、最小の積分ギャップを持つ数学的定式化を検討してください（おそらく、いくつかの定式化は分離オラクルを使用するかもしれません）。

この質問は[質問：積分ギャップの重要性]に関連しています。

— スノーウィー
ソース

幾何学的なTSPはそのような問題の例になると思いますが、私には何の参考文献もありません。

— ユッカスオメラ

そして、シフト戦略を使用してPTASを認める問題についてはどうでしょうか？それらのいずれかは、任意に小さな積分ギャップを持つIP定式化を持っていますか？

— ユッカスオメラ

@JukkaジオメトリックTSPは良い例です。4/3の積分ギャップの例は、平面グラフ上の最短経路メトリックであり、ギャップのある平面でユークリッドTSPまたは TSPのインスタンスになる可能性があります

ℓ_{1}

$\ell_1$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Luca Trevisan

平面グラフ上の問題に対するPTASが、一定数のレベルのSherali-AdamsまたはLasserre緩和を使用することで実現できるかどうかは、興味深い未解決の問題として言及されていると聞きました。（定数は、達成したい近似比に依存します。）密なグラフ（最大カットなど）にPTASがあるグラフの問題には、多項式のファミリーもあることを知っておくか、少なくとも現在の手法で証明する必要があります任意の小さな積分ギャップを持つサイズ緩和。

— ルカトレビザン

関連質問：多項式サイズのLPが現在の最もよく知られている近似比を与えることができないことが証明されている問題はありますか？一部の制限されたタイプのLPであっても、そのようなことを証明することは可能ですか？

— ダヌ

回答:

指摘したように、かなりの数の例があります。

古典的な例は最大マッチングで、「自然な」緩和（奇数セット制約なし）には2のギャップがありますが、もちろん効率的なアルゴリズムがあります。ただし、楕円を介して解くことができる指数サイズのLPがあるため、これは完全には適格ではありません。

興味をそそるのは、設備の容量制限です。ここで、自然な緩和には、無限のギャップがあります。しかし、ローカル検索ベースのアルゴリズムは、定数因子近似を提供します。

もう1つの非常に興味深いもの（最大化の問題ですが）は、このペーパー：http : //www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdfです。ここで、LPには大きなギャップがありますが、そのLPを使用するアルゴリズムの方が優れています。

— クナル
ソース

どうもありがとうございました。この答えには、私が探していたもの、特にChakrabartyらによって書かれたFOCS論文が含まれています。（このペーパーは私にとても興味があります）。したがって、この回答を受け入れられたものとして設定します。私はまだもっと例を探しているので、他の例を与えることができれば誰でも高く評価されるでしょう。

— スノーウィー

半正定値プログラミング緩和により、線形プログラミング緩和の既知の積分ギャップよりも優れた近似が可能になるさまざまな例があります。

たとえば、最大カットの標準線形計画法の緩和には1/2の積分ギャップがあり、これははるかに高度な線形計画法の緩和にも当てはまります（cf de la Vega-KenyonおよびSchoenebeck-Trevisan-Tulsiani）が、Goemans -Williamson SDPアルゴリズムの近似値は.878 ...

疎なカットのレイトン・ラオ線形計画法の緩和には積分ギャップがありが、Arora-Rao-Vazirani SDPアルゴリズムには近似ます。 $\Omega(\log n)$ $O(\sqrt{\log n})$

おそらくあまり知られていないが、KarloffとZwickは、SDPを使用すると、節が7/8以内で1、2、または3リテラルを持つことができるバージョンでMax 3SATを近似できることを示しています。一方、GoemansとWilliamsonは、 3/4近似を証明するために使用され（Yannakakisは他の方法で以前に3/4近似を与えていました）、Max 3SATのGoemans-Williamson LP緩和は、積分ギャップ3/4を持っていることが容易にわかります。

— ルカ・トレビサン
ソース

また、GF_2上の線形システムを解くというGrantの結果もあります。優れたソリューションを備えた方程式システムの場合、SDP積分ギャップ（非常に強い形式）は2ですが、ガウス消去法を使用して問題を正確に解決できます。

— YI WU
ソース