ゼロの完全性ギャップは、特定の問題のゼロの二重性ギャップを意味しますか？

整数プログラムとその双対の値の間のギャップ（「双対ギャップ」）がゼロの場合、整数プログラムと双対の緩和の線形計画緩和は両方とも積分解（ゼロの「積分」ギャップ"）。少なくとも場合によっては、逆が成り立つかどうかを知りたい。

0-1整数プログラムがあるとします。ここで、マトリックスはマトリックスです。線形計画緩和仮定の一体化し、最適なソリューションを持っています。それでは、双対線形計画法も積分解を認めますか？ $P: \max\{1^Tx: Ax \leq 1, x\in \{0,1\}^n\}$ $A$ $0-1$ $P'$ $P$ $P'$

反例やポインタをいただければ幸いです。

— アンクル
ソース

@Kavehは、近似アルゴリズムがここで正しいタグであることを確信していません。またはds.algorithms

— Suresh Venkat

最初のパラでは、整数プログラムの双対とはどういう意味ですか？特に線形計画法の緩和に整数の頂点がある場合、多面体理論の基本を理解するには、線形計画法と整数計画法に関するSchrijverの本を参照すると便利です。TUM行列とTDIシステムの不等式は、あなたの質問に関連しています。

— チャンドラチェクリ

@Suresh、線形計画法と最適化はアルゴリズムに該当しませんか？

— カベ

@ChandraChekuri私は整数線形プログラムについて話している。デュアルは、弱いデュアル性が保持されるILPの標準デュアルです。ここでの難点は、（プライム）LPソリューションの積分性（TUM / balancedなど）の十分条件が、プライマルとそのデュアルLPのソリューションの積分性の一見強い概念を通過するように見えることです。これは、少なくとも積分係数について、主解の積分性が双対解の積分性を意味するのではないかと思いました。PS：Siebelまで歩いて行けば、そこで話すことができました！私は数年前にあなたのクラスにいました！

— アンクール

この特定の質問は、現在持っているタグに近いものです。

— スレシュヴェンカト

クレームの反例に近いインスタンスを次に示します。

LPとその二重のためのマトリックス $P = \max \{ 1^T x \,|\, Ax \leq 1, x \leq 1, x \geq 0\}$ $P' = \min \{1^Ty + 1^Tz ~|~ A^Ty + z \geq 1, ~y \geq 0, z \geq 0 \}$ $12 \times 6$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.$

の最適な解は、（その他の変数はすべてゼロ）で与えられ、目的関数値はです。の最適解は、ベクトル与えられます。を整数プログラムとして解く場合、最適な目的関数値はのみであり、が最適な解です。 $P'$ $y_1=y_2=y_{12}=1$ $3$ $P$ $x = [0.5~0.5~0~1~0.5~0.5]^T$ $P$ $2$ $x = [1~0~0~1~0~0]$

要約すると、LPには積分最適解がありますが、その二重のは積分最適解がありません。原始双対の役割は、アンクールが望んでいた設定とは逆です。しかし、LPの二重性の性質を考えると、このインスタンスは、元のクレームの一般的なステートメントに対する反例と見なすことができます。 $P'$ $P$

— クバラ
ソース

ありがとう！動作します！この例をどのようにして思いついたのですか？それが引き出される問題のクラスはありますか？

— アンクール

マトリックスは、最適な相同サイクルに関する論文で与えられている、メビウスの帯の境界マトリックスの修正です。私は最近、このような境界マトリックスをいじくり回しているので、このマトリックスを使用して、私が与えた例を作成するのに多少自然になりました。

— kbala