どの整数線形プログラムが簡単ですか？

問題の解決を試みている間に、私はその一部を次の整数線形プログラムとして表現することになりました。ここで入力の一部として与えられたすべての正の整数です。変数x i jの指定されたサブセットはゼロに設定され、残りは正の整数値を取ることができます。$\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$$x_{ij}$

最小化

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

対象：

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

この整数プログラムが多項式時間で解けるかどうか知りたい。私の元々の問題は解決していれば解決し、そうでなければ別の方法を試さなければなりません だから私の質問は：

特定の整数線形プログラムが多項式時間で解けるかどうかはどうすればわかりますか？どの整数線形プログラムが簡単であることが知られていますか？特に、上記のプログラムは多項式時間で解くことができますか？これに関する参考文献をいくつか教えてください。

これは、輸送問題（または最小コストのフロー問題）の特殊なケースであるため、多項式時間で解決できます。係数行列は、2部グラフの入射行列であるため、完全にユニモジュラーです。

次のウィキペディアの記事が役に立つかもしれません。

• http://en.wikipedia.org/wiki/Minimum_cost_flow_problem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Unimodular_matrix

一般的に言うのは難しいです。しかし、十分な条件は、制約行列が完全にユニモジュラーであり、右側が常に整数であることです（この場合、右側は整数ですが、それでもユニモジュラーについて確認する必要があります）

これを見てください：http : //en.wikipedia.org/wiki/Linear_program#Integer_unknowns

等式のみの整数プログラムは線形プログラムで解くことができます。