複雑性理論に保存則はありますか？

いくつかの例から始めましょう。CVPがPにあることを示すのはそれほど簡単ではないが、LPがPにあることを示すのはそれほど難しいのはなぜですか。どちらもP完全な問題です。

または素数を取ります。NPのプライム（Prattが必要）および最終的にはPのプライムよりもNPのコンポジットを表示する方が簡単です。なぜこの非対称性を表示する必要があったのですか？

ヒルベルト、創造性の必要性、証拠がNPにあるなどを知っています。しかし、それは、目に見える以上のものがあるという気まぐれな感覚を私が止めることはありません。

「作業」の定量化可能な概念はありますか？複雑性理論には「保存則」がありますか？たとえば、CVPとLPはどちらもP完全であるにもかかわらず、「異なる場所」で複雑さを隠していることを示しています。他の言語の表現可能性。

他の人も気分が悪く、洞察力がありますか？または、私たちはこれを計算の性質であると肩をすくめて言います。

これは、フォーラムに対する私の最初の質問です。

編集： CVPはCircuit Value Problem、LPは線形計画法です。 混乱を指摘してくれたSadeqに感謝します。

これは私の心に何度も出くわした質問です。

見るべき1つの場所は情報理論だと思います。これが私の推測です。問題があれば、入力として与えられた情報とアルゴリズムから受け取った情報にある種のエントロピー値を与えることができます。それができれば、アルゴリズムがその問題を解決するために必要な最小限の情報ゲインが必要になります。

私が理解したかった1つの関連する事柄があります。一部のNP完全問題では、Pで制約バージョンを見つけることができます。ハミルトニアンパスでは、グラフがDAGであると指定した場合、それを解決するp時間アルゴリズムがあります。TSPのような他の問題では、最適に近いp-timeアルゴリズムがしばしばあります。制約されたp-timeアルゴリズムの場合、想定される追加情報と実行時の複雑さの低減との間に比例関係があるはずです。TSPの場合、追加の情報を想定していませんが、精度を緩和しています。これにより、あらゆる種類のアルゴリズム情報ゲインに同様の効果が期待できます。

保全法に関する注記

1900年代初期には、エミリー・ネーターという名のドイツ系アメリカ人の数学者はほとんど知られていない。とりわけ彼女は、アインシュタインとヒルベルトによって数学史上最も重要な女性であると説明されました。1915年、彼女は現在ネーターの最初の定理として知られているものを発表しました。定理は保存の物理法則に関するものであり、すべての保存法は物理系で対応する微分対称性を持つと述べました。角運動量の保存は空間の回転対称性に由来し、線形運動量の保存は空間の並進であり、エネルギーの保存は時間の並進です。それを考えると、形式的な意味で複雑性の保存の法則があるためには、ラングラギアン関数に対応する微分対称性が必要です。

その理由は、使用する論理システムにあると思います。各形式システムには、公理のセットと推論のルールのセットがあります。

形式システムの証明は、一連の式が単なる公理であるため、シーケンス内の各式は公理であるか、推論規則を適用することによりシーケンス内の以前の式から取得されます。形式システムの定理は、証明の最後の式にすぎません。

それは論理的なシステムで決定可能であると仮定すると定理の証明の長さは、セットに完全に依存公理と推論規則。

たとえば、命題論理について考えてみましょう。この命題には、Frege（1879）、Nicho（1917）、Mendelson（1979）などの特性があります。（詳細については、この短い調査を参照してください。）

$\varphi \to \varphi$

この問題は証明複雑さと呼ばれます。Beame＆Pitassiを引用するには：

論理の最も基本的な質問の1つは次のとおりです。普遍的に真のステートメント（トートロジー）が与えられた場合、標準的な公理的証明システムにおけるステートメントの最短証明の長さは？この質問の命題論理バージョンは、定理証明と複雑性理論の両方にとって、コンピューターサイエンスで特に重要です。重要な関連するアルゴリズムの質問は次のとおりです。トートロジーの証拠を生成する効率的なアルゴリズムはありますか？トートロジーの最短証明を生成する効率的なアルゴリズムはありますか？このような定理証明と複雑さの疑問は、特に「定理証明手順の複雑さ」と題されたNP完全性に関するクックの独創的な論文にインスピレーションを与え、ゲーデルがフォン・ノイマン宛に書いた手紙でさらに早く考えられました。

先日、物理学に関するファインマンの講義のいくつかを再生していたとき、私はこの同じ質問について考えていました、そして、エネルギー保存に関するレッスン4に来ました。講義では、ファインマンは単純な機械の例を使​​用します（レバーやプーリーなどのシステムを介して）あるユニットの重量をある距離x下げ、それを使用して3ユニットの2番目の重量を持ち上げます。重さはどれくらい高くできますか？ファインマンは、マシンがリバーシブルであれば、マシンのメカニズムについて何も知る必要がないことを観察します-ブラックボックスのように扱うことができます-そして、それは常に可能な最大距離まで重量を持ち上げます（この場合x / 3）。

これは計算に類似していますか？可逆計算の考え方は、LandauerとBennettの仕事を思い起こさせますが、これが私たちが興味を持っている用語の意味であるかどうかはわかりません。直観的には、最適な問題のアルゴリズムがある場合、ビットをかき回して行われる無駄な「作業」はありません。同じ問題に対する総当たり的なアプローチでは、CPUサイクルを左右に捨てることになります。しかし、どちらのアルゴリズムでも物理的に可逆な回路を構築できると思います。

計算の複雑さの保存則に近づくための最初のステップは、保存すべきものを正確に把握することだと思います。空間と時間はそれぞれ重要なメトリックですが、空間/時間のトレードオフの存在から、アルゴリズムによってどれだけの「作業」が行われているかの尺度として、どちらも単独では適切ではないことは明らかです。TMヘッドの反転やテープセルの交差など、使用されている他のメトリックがあります。これらのどれも、計算を実行するのに必要な「作業」の量の私たちの直感に本当に近いようには見えません。

問題の裏側は、その作業が何に変換されるかを把握することです。プログラムからの出力が得られたら、得たものは正確に何ですか？

保存則の存在を示唆するいくつかの観察：

$<_p$$P\ne NP$

$P=\{L| L<_p HornSAT \}$

$NP=\{L| L<_p 3SAT \}$

$CoNP=\{L| \bar L<_p 3SAT \}$

$NPC=\{L| L<_p 3SAT, 3SAT<_p L \}$

$PC=\{L| L<_p HornSAT, HornSAT<_p L \}$

編集：は、P = { L $P$$P=\{L| L<_p HornSAT, \bar L <_p HornSAT \}$$P$$NP$$P=NP$

タオは、数学における難易度の保存の法則の存在を示唆しています。「本当に重要な結果を証明するためには、どこかでハードワークが必要です」。

彼は、いくつかの数学的証明の難しさは、定理証明プロセスに必要な努力量の下限を示唆していると主張します。