一般化されたラドナーの定理

ラドナーの定理によれば、P≠NPの場合、Pを厳密に含み、NPに厳密に含まれる複雑度クラスの無限階層が存在します。この証明は、NPの多対1削減の下でのSATの完全性を使用しています。階層には、ある種の対角化によって構築された複雑度クラスが含まれ、各クラスには、下位クラスの言語が多対1で還元できない言語が含まれています。

これは私の質問の動機です：

Cを複雑度クラス、Dを厳密にCを含む複雑度クラスとする削減？

より具体的には、削減の適切な概念について、D = PおよびC = LOGCFLまたはC = NCで既知の結果があるかどうかを知りたいと思います。

Ladnerの論文には、空間限定クラスCの定理7がすでに含まれています。Kavehが答えで指摘したように。最強の形で言うと、NL≠NPの場合、NLとNPの間には、厳密に硬度が増加する無限の言語シーケンスが存在します。これは、P≠NPを条件とする通常のバージョン（定理1）よりも少し一般的です。しかし、ラドナーの論文では、D = NPのみが考慮されています。

これらの論文で証明されているように、あなたの質問への答えは、ログスペース削減やあなたが言及したクラスを含む多種多様なクラスと削減に対して「はい」です。

H.フォルマー。 ギャップ言語手法の再検討。コンピュータサイエンスロジック、レクチャーノートin Computer Science Vol。533、389-399ページ、1990年。

K.リーガンとH.フォルマー。 ギャップ言語とログ時間複雑度クラス。Theoretical Computer Science、188（1-2）：101-116、1997

（これらの論文のgzip圧縮されたpostscriptファイルはこちらからダウンロードできます。）

証明は、ラドナーの定理のUweSchöningの拡張の基本原則に従います。

ウーヴェ・シェーニング。 複雑度クラスの対角線セットを取得するための均一なアプローチ。Theoretical Computer Science 18（1）：95-103、1982年。

シェーニングの証明は常にラドナーの定理の私のお気に入りの証明でした-それは単純で一般的です。

一般的な設定でこれを達成できる可能性が非常に高くなります。ほぼ確実に、そのような結果はすでに一般的な設定で証明されていますが、現時点では参照が私を逃れます。だからここにゼロからの議論があります。

http://oldblog.computationalcomplexity.org/media/ladner.pdfの記事には、ラドナーの定理の2つの証拠があります。Russell Impagliazzoによる2番目の証明は、{ x 01 f （| x |） } の形式の言語を生成します。ここで、xは充足可能な式をエンコードし、fは特定の多項式時間計算可能関数です。つまり、適切な数の1で SATをパディングするだけで、「NP中間」セットを取得できます。SATからL 1への多項式時間の削減がないように、すべての可能な多項式時間の削減に対して「対角化」するためにパディングが実行されます。$L_1$$x01^{f(|x|)}$$x$$f$$1$$L_1$動作します（仮定）。無限に多くの硬度があることを証明するために、上記の引数でSATの代わりにL 1を置換し、L 2 = { x 0 1 f （| x |） | X ∈ L 1 }。有する繰り返しL I = { X 0 1 F （| X |） | x ∈ L I $P \neq NP$$L_1$$L_2 =$$x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_1$$L_i =$ }。$x 0 1^{f(|x|)} | x \in L_{i-1}$

このような証明は、クラスおよびDに一般化できることは明らかです。（1）CはDに適切に含まれ、（2）DはC削減で完全な言語を持ち、（3）すべてのC削減のリスト再帰的に列挙することができ、（4）関数fはCで計算可能です。おそらく唯一の気になる要件は最後の要件ですが、リンクのfの定義を見ると、考えることができる最も妥当なクラスCの計算は非常に簡単に見えます。$C$$D$$C$$D$$D$$C$$C$$f$$C$$f$$C$

私は、とN Cの統一バージョンに対して正の答えだと思います。Ladnerの証明は、あなたが述べたものと、小さなクラスが再帰的に表現され、小さな修正で動作するはずであるという事実以外はあまり使用しませんが、詳細を確認していません。ランスの記事をご覧ください。$C=L$$NC$

更新

Ladnerの多項式時間還元性の構造に関する論文をチェック

ここでは抽象的である：で、ここで示される多項式時間還元性の二つの概念、と≤ Pのメートル、それぞれ、クックやカープによって定義されていました。計算可能なセットのドメイン上のこれらの2つの関係の抽象的な特性が調査されます。両方の関係は密であり、最小のペアを持つことがわかります。さらに、シーケンスの上限の最小ペアを持つ厳密に昇順のシーケンスがあります。密度を表示する方法では、P ≠ N Pの場合、多項式完全でないN P - Pのメンバーが存在するという結果が得られます。$\leq_T^P$$\leq_m^P$$P \neq NP$$NP - P$

Bが計算可能としないである場合定理1は、次に計算が存在するAのように A ∉ P、A ≤ P M B、及びB ≰ P T A。$P$$A$$A \not \in P$$A \leq_m^P B$$B \not \leq_T^P A$

一般化について説明しているセクション6も参照してください。

定理5.場合ある時のクラス次いで≤ C 、M及び≤ C Tを有する1-4ホールド反射的推移関係と定理であるPは、で置き換えC。$C$$\leq_m^C$$\leq_T^C$$P$$C$

定理7場合ある空間クラス次いで≤ CとMと≤ C Tを用いて反射的推移関係と定理1-4ホールドであるPは、で置き換えC。$C$$\leq_m^C$$\leq_T^C$$P$$C$

時間クラスと空間クラスという用語は、論文で定義されています。

ここでMathoverflow で Peter Shorに同様の質問をしました。彼によると、彼はそのような結果に気付いていません。

$NP\neq P$

$A$$\sum_i^p$$B \in \sum_{i-1}^p$$B$

もう1つの興味深い問題は、LadnerのpromiseBPP、promiseMAなどのセマンティッククラスのpromiseバージョンへの一般化を検討することです。