タグ付けされた質問 「cc.complexity-theory」

P対NPおよびその他のリソースに制限された計算。

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幾何学的複雑性理論のウィキペディアスタイルの説明
専門家ではない人が理解できるマルムレーのGCTアプローチの簡潔な説明を誰かが提供できますか？トピックに関するウィキペディアのページに適した説明（現時点ではスタブです）。 動機：私はストリング・セオリーの研究者である私の友人とデモクリトス以来、スコット・アーロンソンの本「量子コンピューティング」を「共読」しています。本の序文で、アーロンソンはGCTを「コンピューターサイエンスの弦理論」と呼んでいます。ストリング理論家である私の友人は、この主張に興奮し、GCTとは何かを尋ねました。その時点で、私は彼の質問に対するウィキペディア対応の回答がないことを恥ずかしく思いました。
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SATの最高の上限
で、別のスレッド、ジョー・フィッツシモンズは、について尋ねた「3SATで最高の現在の下限。」 私は他の方法に行きたいです：3SATの現在の最高の上限は何ですか？言い換えれば、最も効率的なSATソルバーの時間の複雑さは何ですか？ 特に、SATの部分指数（まだ超多項式）アルゴリズムを見つけることは考えられますか？
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SATソルバーの実際の成功の理論的説明は？
SATソルバーの実用的な成功のために、どのような理論的説明がありますか。誰かがそれらをまとめて「ウィキペディアスタイル」の概要と説明を与えることができますか？ 同様に、シンプレックスアルゴリズムの平滑化解析（arXivバージョン））は、最悪の場合指数関数的な時間がかかり、NPマイティ（arXivバージョン）であるという事実にもかかわらず、実際にうまく機能する理由を説明する素晴らしい仕事をします。 バックドア、条項グラフの構造、および相転移などについて少し聞いたことがありますが、（1）これらがどのように組み合わさって大きな画像を提供するか（もしあれば）、および（2） SATソルバーが産業用インスタンスなどでうまく機能する理由をこれらが本当に説明しているかどうかはわかりません。また、節グラフの構造のようなものになると、現在のソルバーが特定の節グラフ構造を利用できるのはなぜですか？ 少なくとも現在の私の理解では、相転移についての結果はこの点で部分的に満足しているだけです。相転移の文献はランダムな k-SATのインスタンスに関するものですが、実際のインスタンスについては本当に説明できますか？SATの実世界のインスタンスがランダムなインスタンスのように見えるとは思わない。したほうがいい？ランダムなインスタンスのように見えなくても、フェーズ遷移が実世界のインスタンスについて直感的にさえ何かを伝えると考える理由はありますか？ 関連する質問は役立ちますが、私の質問には完全には答えられません。特に、物事をまとまりのある写真にまとめるためのリクエスト： SATソルバーに大きな違いがあるのはなぜですか？ どのSATの問題は簡単ですか？ ランダムな3SATからのツリー幅とインスタンスの硬さとの相関関係は何ですか？
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どのような階層や階層定理を知っていますか？
現在、TCSの階層定理に関する調査を書いています。関連論文の検索階層は、TCSや数学だけでなく、神学や社会学から生物学や化学に至るまでの多くの科学における基本的な概念であることに気付きました。情報量が膨大であることを見て、私はこのコミュニティに助けを求めることができることを望みます。もちろん、私に書誌検索をしてもらいたくはありませんが、2種類の情報を求めています。 あなたの仕事の結果である階層と階層定理、同僚やあなたがよく知っている他の人々の仕事であり、あなたはそれがあまり知られていないと思います。これは、たとえば、興味のあるあいまいな計算モデルの階層定理や、ゲーム理論に関連する特定のクラスの階層などです。 この種の調査に含める必要があるとみなされる階層と階層定理。これはおそらく私には既に知られているでしょうが、どの階層がより重要だと考えているのか、なぜそうなっているのかを知るのに役立ちます。これは、「PHPHPHがないとこの種の研究を行うことができないため、P Hは非常に重要だ」または「あまりよく知られていないが、論理ベースのTCSでは常にこの階層を使用し、重要なツールだと考えています。」。そして、はい、論理の人々は言及すべき多くの階層を持っていると信じていますが、問題の階層について話していることに留意してください。 ここで更新されたリストを保持します。 DTIMEDTIMEDTIME階層 NTIMENTIMENTIME階層 SPACESPACESPACE階層 算術（Kleeneとも呼ばれる）階層 超算術階層 分析階層 チョムスキー階層 Grzegorczyk階層と関連：Wainer階層（急成長）、Hardy階層 （低速成長）、およびVeblen階層 リッチーの階層 Axtの階層（Axt63で定義） ループ階層（MR67で定義） NCNCNC（ACACAC、ACCACCACC）階層 Sipser83で定義されている深度階層 多項式階層（）およびあまり洗練されていないMeyer-Stockmeyer階層（数量詞間の区別なし）PHPHPH 指数階層（）ELEMENTARYELEMENTARYELEMENTARY 中間階層（ラダーの定理） NPNPNP それほど頑丈ではない（アーサー・マーリン）AMAMAM （非決定的な固定パラメータ）階層と関連交互W階層（A W -hierarchy）とW * -hierarchy（パラメータ依存深さW）WWWAWAWAWW∗W∗W^{*} 階層のカウント フーリエ階層 （上ブール階層）、また（上クエリ階層に等しいN P）NPNPNPNPNPNP GoldreichKNR09に見られるプロパティテストの階層 星のない通常言語のドットの深さの階層 ：入力の各ビットが最大d回テストされるという追加条件を使用して、多項式サイズの分岐プログラムによって解決可能なクラスは、 dの異なる値の階層を形成しますBPd(P)BPd(P)BP_{d}(P)ddd 回路の複雑さの時間階層 通信の複雑さにおける多項式階層 注：独占的に言及されたくない場合は、そう言ってください。経験則として、コミュニティと、新しい情報を明らかにする特定の人物の両方に言及します。
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TCSのグレブナーベース？
誰もがグレブナー基底の理論的計算機科学への興味深い応用を知っていますか？ グレブナー基底は、一般にNP困難な問題である多変量多項式を解くために使用されます。TCSまたはTCS関連分野（組み合わせ論、コーディング理論）で効率的なアルゴリズム/構築/証明を提供するために、扱いやすい特別なケースが使用されているかどうか疑問に思っていました。
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「P」と「NP-hard」の居心地の良い近所
ましょアルゴリズムの作業になります。（決定問題、最適化問題、またはその他のタスクのいずれかです。）XがNP困難であると仮定して、多項式階層が崩壊することを意味することがわかっている場合、Xを「多項式側」と呼びます。Xが多項式アルゴリズムを受け入れると仮定して、多項式階層が崩壊することを意味することがわかっている場合、Xを「NP側」と呼びましょう。XXXXXXXXXXXXXXX もちろん、Pのすべての問題は多項式側にあり、NP困難な問題はすべてNP側にあります。また、たとえば、因数分解（またはNP交差coNPのすべて）は多項式側にあります。グラフ同型は多項式側にあります。QUANTUM-SAMPLINGはNP側にあります。 1）多項式側のアルゴリズムタスクの（可能な限り自然な）例、および（特に）NP側のより多くの例に興味があります。 2）単純に、NP側はNP困難問題の一種の「近傍」であり、P側は「Pの近傍」であるように見えます。NP側の問題をP側の問題と比較して「かなり難しい」と考えるのは正しい洞察ですか。または、NP側の問題を「道徳的にNP困難」と見なすこともできますか？ 3）（これは明らかかもしれませんが、私には見えません）両側にがありますか、またはそのようなXがありそうもないと信じる理論的な理由があります。更新答えはYESです。以下のユバルフィルマスの回答を参照してください。XXXXXX （これらの「サイド」が実際の複雑さのクラスに関連し、関連するccの専門用語や関連する結果が見当たらない場合はお知らせください。） 更新：現在、この質問に対するいくつかの非常に良い答えがあります。Yuval Filmusが最初に指摘し、再度言及したように、質問は形式的ではなく、XがP側/ NP側にあることを示す議論に対する制限が必要です。（さもなければ、両側にある0 = 1の証明を提示するタスクをXにすることができます。）これをさておき、NP側の問題X（本物）が何らかの形で硬度をキャプチャする場合があります。ただし、これは、SATの硬度が証明可能な方法で（わずかでも）弱められているP側の問題の場合もあります。Yuval Filmusは、両側にあるSATの弱体化バージョンを提供しました。Andy Druckerは（2つの回答で）SchöningのLowおよびHigh階層への参照を含む5つの興味深い例を示し、Scott Aaronsonはさらに興味深い例を示しました。NPの硬さに近い一方向関数を逆変換する問題に言及しましたが、P側では、QUANTUMSAMPLINGの興味深いケースについても説明しています。FeigeとLundによるこの種の古い結果に出会いました。
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グラフ同型問題に対する準多項式時間アルゴリズムの結果
グラフ同型問題（GI）は、おそらくのための最良の既知の候補であるNP-中間問題。最もよく知られているアルゴリズムは、実行時準指数アルゴリズムです。多項式階層が崩壊しない限り、GIは完全ではないことが知られています。NP2O （n ログn√）2O(nlog⁡n)2^{O(\sqrt{n \log n})}N PNP\mathsf{NP} グラフ同型問題に対する準多項式時間アルゴリズムの複雑性理論的な結果はどうなるでしょうか？ GIの準多項式時間アルゴリズムは、複雑性理論の有名な推測に反論するでしょうか？ トーナメントの最小支配集合問題、グループ同型写像問題、トーナメント同型写像問題のような他の同様の問題には、準多項式時間（QP）アルゴリズムがあります。後者の2つの問題は、GIに対して多項式時間で縮約可能です。 トーナメントの最小支配セットの問題を効率的にGIに減らすことはできますか？ QPにとってGIが難しいと推測する推測はありますか？ 更新（2015-12-14）：Babaiは、GIの準多項式時間アルゴリズムのarXivに関する予備的な草案を投稿しました。 更新（2017-01-04）：Babai はアルゴリズムが準多項式時間にあるという主張を撤回しました。新しい分析によれば、アルゴリズムは準指数時間にありますの内側にある。2 n o （1 ）expexp（O〜（lgn−−−√））exp⁡exp⁡(O~(lg⁡n))\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))2no （1 ）2no(1)2^{n^{o(1)}} 更新（2017-01-09）：ババイは準多項式時間の主張を復活させ、問題の手順をより効率的な手順に置き換えました。
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固定深度の特性？
これは、回路の複雑さに関する質問です。（定義は下部にあります。） YaoとBeigel-Tarui は、サイズsのすべての回路ファミリーが、深さ2のサイズs p o l y （log s ）の等価回路ファミリーを持つことを示しました。ここで、出力ゲートは対称関数であり、第2レベルはp o l y （log s ）のA N DゲートのACC0ACC0ACC^0sssspoly(logs)spoly(log⁡s)s^{poly(\log s)}ANDANDANDpoly(logs)poly(log⁡s)poly(\log s)ファンイン。これは、回路ファミリのかなり注目すべき「深さの崩壊」です。深さ100の回路から、深さを2に減らすことができます。 私の質問：回路ファミリを同様に表現する既知の方法はありますか？もっと野心的に、N C 1回路ファミリはどうですか？潜在的な答えは次の形式になります。「サイズsのすべてのT C 0回路は、サイズf （s ）の深さ2ファミリによって認識できます。出力ゲートはタイプXの関数であり、ゲートの第2レベルはタイプY」。TC0TC0TC^0NC1NC1NC^1TC0TC0TC^0sssf(s)f(s)f(s)XXXYYY それはありません持っている深さ-2であることを、固定の深さの結果の任意の並べ替えは、興味深いものになるだろう。すべての回路が深さ3で対称関数ゲートのみで構成される回路で表現できることを証明することは非常に興味深いでしょう。TC0TC0TC^0 いくつかの小さな観察： 場合答えはのために自明である任意の（我々がどのような機能を発現することができるブール関数O Rの2 N A N D S）。具体的には、f （n ）= 2 n o （1 ）を要求します。f(n)=2nf(n)=2nf(n)=2^nOROROR2n2n2^n ANDANDANDf(n)=2no(1)f(n)=2no(1)f(n) = 2^{n^{o(1)}} またはYのいずれかがT C 0で計算可能な任意の関数として許可されている場合も、答えは簡単です。:)これが何であれ、明らかに「単純な」関数に興味があります。計算できない対称関数ファミリがあるため、定義するのは少し滑りやすいです。（計算できない単項言語があります。）必要に応じて、ステートメント内のXおよびYを対称関数に単純に置き換えることができますが、他の適切なゲートの選択に興味があります。XXXYYYTC0TC0TC^0XXXYYY （表記の簡単な思い出： …
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計算幾何学の研究者がBSS / real-RAMモデルを好む理由は何ですか？
バックグラウンド 実数の計算は自然数の計算よりも複雑です。実数は無限のオブジェクトであり、実数は数え切れないほど多くあるため、実数は有限アルファベット上の有限文字列で忠実に表現できないからです。 ラムダ計算、チューリングマシン、再帰関数などのさまざまな計算モデルが同等であることが判明している有限文字列上の古典的な計算可能性とは異なり（少なくとも文字列上の関数の計算可能性について）、さまざまな計算モデルが提案されています互換性のない実数。たとえば、古典的なチューリングマシンモデルに最も近いTTEモデル（[Wei00]も参照）では、実数は無限入力テープ（チューリングのオラクルのような）を使用して表され、比較を決定することはできません。与えられた2つの実数の間の等式関係（有限時間）。一方、RAMマシンモデルに類似したBBS / real-RAMモデルでは、任意の実数を格納できる変数があり、比較と等式はモデルのアトミック操作の1つです。このような理由から、多くの専門家は、BSS / real-RAMモデルは現実的ではなく（少なくとも現在のデジタルコンピューターでは実装できない）、TTEまたは効果的なドメイン理論モデルのようなTTEに相当する他のモデルを好むと言います。 Ko-Friedmanモデルなど 場合は、私が正しく理解し、で使用されている計算のデフォルトのモデル計算幾何学は、あるBSS（別名リアルタイムRAM、参照[BCSS98]）モデル。 一方で、計算幾何学（LEDAなど）のアルゴリズムの実装では、代数的数値のみを扱っており、より高いタイプの無限オブジェクトまたは計算は関係していないようです（これは正しいですか？）。したがって、私は（おそらく素朴に）有限文字列上の古典的な計算モデルを使用してこれらの数値を処理し、通常の計算モデル（これはアルゴリズムの実装にも使用されます）を使用して正確さと複雑さを議論できるようですアルゴリズムの。 質問： 計算幾何学の研究者がBSS / real-RAMモデルの使用を好む理由は何ですか？（BSS / real-RAMモデルを使用する理由特定の計算幾何学） 前の段落で言及した（おそらく素朴な）アイデアの問題は何ですか？（計算の古典的なモデルを使用し、計算幾何学で代数的数への入力を制限する） 補遺： アルゴリズムの問​​題の複雑さもあります。BSS/ real-RAMモデルで次の問題を決定するのは非常に簡単です。 二組の所与の及びは正の整数の、 ある？SSSTTT∑s∈Ss√>∑t∈Tt√∑s∈Ss>∑t∈Tt\sum_{s\in S} \sqrt{s} > \sum_{t\in T}\sqrt{t} それを解決するための効率的な整数RAMアルゴリズムは知られていませんが。例についてはJeffEに感謝します。 参照： Lenore Blum、Felipe Cucker、Michael Shub、Stephen Smale、「複雑さと実際の計算」、1998 Klaus Weihrauch、「計算可能な分析、序論」、2000
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行列の乗算が
一般に、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0すべてについて、O （n 2 + ϵ）時間で2つのn×nn×nn \times n行列を乗算することが可能であると考えられています。議論はここにあります。O(n2+ϵ)O(n2+ϵ)O(n^{2 + \epsilon}) 私は、研究に精通している人々に、nに依存しないk>0k>0k>0があり、行列乗算のO （n 2 log k n ）アルゴリズムが存在し、圧倒的に直感的であると思われるかどうかを尋ねました答えは「いいえ」ですが、理由を説明できませんでした。つまり、O （n 2.001）時間でできるが、O （n 2 log 100 n ）時間ではできないと彼らは信じています。nnnO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)O(n2.001)O(n2.001)O(n^{2.001})O(n2log100n)O(n2log100⁡n)O(n^2 \log^{100} n) 固定k > 0でO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)アルゴリズムがないと信じる理由は何ですか？k>0k>0k>0
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PRIMES、FACTORINGの問題はP-hardであることがわかっていますか？
してみましょうPRIMES（別名素数判定は）問題になります： 自然数与えられた、は素数ですか？nnnnnn してみましょうFACTORINGが問題になります。 自然数を考えると、で、ない倍持っていると？nnnmmm1≤m≤n1≤m≤n1 \leq m \leq nnnnddd1&lt;d&lt;m1&lt;d&lt;m1 < d < m PRIMESがP-hardかどうかはわかりますか？ファクタリングはどうですか？これらの問題の最もよく知られている下限は何ですか？
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整数分解問題はRSA分解より難しいですか？？
これは、math.stackexchangeからのクロスポストです。 ような素数整数与えられた、FACTが整数因数分解問題を表すとしますn∈N,n∈N,n \in \mathbb{N},pi∈N,pi∈N,p_i \in \mathbb{N},ei∈N,ei∈N,e_i \in \mathbb{N},n=∏ki=0peii.n=∏i=0kpiei.n = \prod_{i=0}^{k} p_{i}^{e_i}. RSAは、およびが素数である因数分解問題の特殊なケースを示します。つまり、素数またはそのような因数分解がない場合はNONEを見つけます。n=pqn=pqn = pqp,qp,qp,qnnnp,qp,qp,q 明らかに、RSAはFACTのインスタンスです。FACTはRSAよりも難しいですか？多項式時間でRSAを解くオラクルを考えると、多項式時間でFACTを解くのに使用できますか？ （文献へのポインタは大歓迎です。） 編集1：計算時間の制限を多項式時間に追加しました。 編集2：Dan Brumleveによる回答で指摘されているように、FACTよりも難しい（または簡単な）RSAを支持する、または反対する論争がある論文があるという。これまでに次の論文を見つけました。 D.ボーネとR.ベンカテサン。RSAを破る方が、ファクタリングよりも簡単かもしれません。EUROCRYPT1998。http ：//crypto.stanford.edu/~dabo/papers/no_rsa_red.pdf D.ブラウン：RSAを破ることは、ファクタリングと同じくらい難しいかもしれません。Cryptology ePrint Archive、Report 205/380（2006）http://eprint.iacr.org/2005/380.pdf G.リアンダーとA.ラップ。汎用リングアルゴリズムに関するRSAとファクタリングの等価性について。ASIACRYPT2006。http ： //www.iacr.org/archive/asiacrypt2006/42840239/42840239.pdf D.アガーワルとU.マウラー。RSAを一般的に破ることは、ファクタリングと同等です。EUROCRYPT2009。http ：//eprint.iacr.org/2008/260.pdf 私はそれらを調べて結論を見つけなければなりません。これらの結果を知っている人は要約を提供できますか？
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mod_mゲートが興味深いのはなぜですか？
ライアン・ウィリアムズは、すべての可能なmについて、アンバウンドのファンインとゲートAND、OR、NOT、およびMOD_mを使用して一定の深さの回路を持つ問題のクラスであるACCに下限を投稿しました。 MOD_mゲートの特別な点は何ですか？ これにより、任意のリングZ_mで算術をシミュレートできます。 ライアンの結果の前に、MOD_mゲートをミックスにスローすると、既知の下限が機能しなかった最初のクラスが得られました。 MOD_mゲートを研究する他の自然な理由はありますか？
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MulmuleyのGCTプログラム
Ketan Mulmuleyの幾何学的複雑性理論は、P対NP質問のような複雑性理論の未解決の問題を解決するための唯一のもっともらしいプログラムであると時々主張されます。このプログラムについて、有名な複雑性理論家からのいくつかの肯定的な解説がありました。Mulmuleyによると、目的の結果を達成するには長い時間がかかります。一般的な複雑性理論家にとっては、この領域に入ることは容易ではなく、代数幾何学と表現理論を理解するためにかなりの努力が必要です。 GCTがP対NPを安定させることができると考えられるのはなぜですか？そこに到達するために100年以上かかると予想される場合、クレームの価値は何ですか？他の現在のアプローチに対する利点は何ですか？また、今後100年間で上昇する可能性のあるアプローチは何ですか？ プログラムの現在の状態は何ですか？ プログラムの次の目標は何ですか？ プログラムに根本的な批判はありましたか？ 私は、代数幾何学と表現理論からの最小限の背景を想定した一般的な複雑性理論家が理解できる答えを好むでしょう。
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