MulmuleyのGCTプログラム

Ketan Mulmuleyの幾何学的複雑性理論は、P対NP質問のような複雑性理論の未解決の問題を解決するための唯一のもっともらしいプログラムであると時々主張されます。このプログラムについて、有名な複雑性理論家からのいくつかの肯定的な解説がありました。Mulmuleyによると、目的の結果を達成するには長い時間がかかります。一般的な複雑性理論家にとっては、この領域に入ることは容易ではなく、代数幾何学と表現理論を理解するためにかなりの努力が必要です。

GCTがP対NPを安定させることができると考えられるのはなぜですか？そこに到達するために100年以上かかると予想される場合、クレームの価値は何ですか？他の現在のアプローチに対する利点は何ですか？また、今後100年間で上昇する可能性のあるアプローチは何ですか？
プログラムの現在の状態は何ですか？
プログラムの次の目標は何ですか？
プログラムに根本的な批判はありましたか？

私は、代数幾何学と表現理論からの最小限の背景を想定した一般的な複雑性理論家が理解できる答えを好むでしょう。

— 匿名
ソース

あなたは（で利用可能FOCSでMulmuleyのチュートリアルを見ましたtechtalks.tv/talks/1301）、あなたはケンリーガンの博覧会読ま持っている：theorie.informatik.uni-ulm.de/Personen/toran/beatcs/...を？Mulmuleyは、自分のプログラムが実行可能であると考える理由（そして、ある程度まで必要であると主張している）と、それが難しい理由について、直観的に説明しました。

— サショニコロフ

関連ブログ記事：1、2。また、スコットは次のように書いています。。私にとって、それはおそらくGCTにとって有利な唯一の強力な議論です。」

— カヴェー

GCTはP対NPではなくVP対VNPを目指していると思います。

— Iddo Tzameret

C

$\mathbb{C}$

\bar{V P_{w s}}

$\overline{VP_{ws}}$

V N P

$VNP$

@Mohammad：ソリューションが予想外であり、完全に斬新なアイデアを必要とするからといって、それがソリューションの行き方ではないという意味ではありません。実際、多くはすでにによってNP対Pを解決すると信じている任意の方法は全く新しい発想が必要になります...

— ジョシュアGrochow

回答:

他の多くの人が指摘したように、これらの質問の多くについてはすでにMulmuleyやReganなどによって多くのことが言われています。ここでは、コメントでまだ言及されていないいくつかの重要なポイントであると思うものの簡単な要約を提供します。

$P \neq NP$
- GCTで発生する代数多様体、表現、アルゴリズムの質問を理解する上で、いくつかの進展があります。私が知っている主な研究者は次のとおりです（順不同です）。 J.ウェイマン、V。ポポフ、N。カヤル、S。クマール、そしてもちろんK.マルムレイとM.ソーニ。
- $n^2 + 2$ $\frac{3}{2}n^2 +O(n)$
- N. Kayalは、ある多項式が別の多項式の軌道にあるか、別の多項式の投影であるかをテストするアルゴリズムの問題に関する論文をいくつか持っています。彼は一般にこれらの問題はNP困難であることを示していますが、永久、行列式、初等対称多項式のような特別な関数については、これらの問題はPで決定可能です。これはMulmuleyの推測のいくつかへの一歩ですクロージャ -行列式などの特別な機能のためにPにあります）。
これについては、2の答えよりも具体的な説明はありません。
私の知る限り、根本的な批判はありませんでした。つまり、プログラムを本当に信用しない批判は見たことがありません。なぜそのような技術が必要なのか、長い期間が予想されるプログラムの価値などについては確かに議論がありましたが、私はこれらを基本的な批判よりも健全な議論として特徴付けます。

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

@ user124864：原則としてはい。GCTは、下限がどのようなものであっても、下限を表示するための単なるアプローチです。対称性を特徴とする関数の方がうまく機能するように見えますが、後者のプロパティは表示する下限の数値に依存しません（例：準ポリ対exp）。

— ジョシュアグロチョウ

Ketan D. Mulmuleyによるこの記事は、少なくとも質問＃1（おそらく2）に答えると思います。P対NPおよび幾何学的複雑性理論

— ジョシュア・ハーマン
ソース