どのような階層や階層定理を知っていますか？

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現在、TCSの階層定理に関する調査を書いています。関連論文の検索階層は、TCSや数学だけでなく、神学や社会学から生物学や化学に至るまでの多くの科学における基本的な概念であることに気付きました。情報量が膨大であることを見て、私はこのコミュニティに助けを求めることができることを望みます。もちろん、私に書誌検索をしてもらいたくはありませんが、2種類の情報を求めています。

あなたの仕事の結果である階層と階層定理、同僚やあなたがよく知っている他の人々の仕事であり、あなたはそれがあまり知られていないと思います。これは、たとえば、興味のあるあいまいな計算モデルの階層定理や、ゲーム理論に関連する特定のクラスの階層などです。
この種の調査に含める必要があるとみなされる階層と階層定理。これはおそらく私には既に知られているでしょうが、どの階層がより重要だと考えているのか、なぜそうなっているのかを知るのに役立ちます。これは、「 $PH$ がないとこの種の研究を行うことができないため、非常に重要だ」または「あまりよく知られていないが、論理ベースのTCSでは常にこの階層を使用し、重要なツールだと考えています。」。そして、はい、論理の人々は言及すべき多くの階層を持っていると信じていますが、問題の階層について話していることに留意してください。

ここで更新されたリストを保持します。

$DTIME$ 階層
$NTIME$ 階層
$SPACE$ 階層
算術（Kleeneとも呼ばれる）階層
超算術階層
分析階層
チョムスキー階層
Grzegorczyk階層と関連：Wainer階層（急成長）、Hardy階層
（低速成長）、およびVeblen階層
リッチーの階層
Axtの階層（Axt63で定義）
ループ階層（MR67で定義）
$NC$ （ $AC$ 、 $ACC$ ）階層
Sipser83で定義されている深度階層
多項式階層（）およびあまり洗練されていないMeyer-Stockmeyer階層（数量詞間の区別なし） $PH$
指数階層（） $ELEMENTARY$
中間階層（ラダーの定理） $NP$
それほど頑丈ではない（アーサー・マーリン） $AM$
（非決定的な固定パラメータ）階層と関連交互W階層（ -hierarchy）と -hierarchy（パラメータ依存深さW） $W$ $AW$ $W^{*}$
階層のカウント
フーリエ階層
（上ブール階層）、また（上クエリ階層に等しい） $NP$ $NP$
GoldreichKNR09に見られるプロパティテストの階層
星のない通常言語のドットの深さの階層
：入力の各ビットが最大d回テストされるという追加条件を使用して、多項式サイズの分岐プログラムによって解決可能なクラスは、異なる値の階層を形成します $BP_{d}(P)$ $d$
回路の複雑さの時間階層
通信の複雑さにおける多項式階層

注：独占的に言及されたくない場合は、そう言ってください。経験則として、コミュニティと、新しい情報を明らかにする特定の人物の両方に言及します。

— chazisop
ソース

2

これは、コミュニティWikiの質問によく似ています。変換しますか？

— デイブクラーク

ラドナーの定理は、PとP ^＃Pの間など、他のクラス（それらが異なると仮定）の間で無限の階層を取得するために一般化できます。

— タイソンウィリアムズ

13

「反階層」定理、つまり二分法定理に言及することもできます。二分法の定理は、おそらく自分自身に調査全体を得ることができますが、少なくともラドナーの定理のようなものと一緒に言及する必要があります。

— ジョシュアグロチョウ

1

問題のクラスの階層についてのみ質問していますか？「テストの階層」という概念もあります。たとえば、arxiv.org/abs/quant-ph/0308032を参照してください。

— アレッサンドロコセンティーノ

1

はい、複雑さのクラス階層のみが考慮されます。でも、それらに限定されるものでは情報を収集するのは非常に多くあります。

— chazisop

21

「Yaoyun Shi、量子と古典的なトレードオフ」で定義されているフーリエ階層。

複雑な動物園から：

$\mathsf{FH}_k$ は、 $k$ レベルのアダマールゲートとその他のすべてのゲートが計算の基礎を保持している、多項式サイズの量子回路の均一なファミリによって解決可能な問題のクラスです。

$\mathsf{FH}_0 = \mathsf{P}$

$\mathsf{FH}_1 = \mathsf{BPP}$

$\mathsf{FH}_2$ は、Kitaevの位相推定アルゴリズムによる因数分解が含まれています。

フーリエ階層がオラクルに対して無限であることを示すことは未解決の問題です（つまり、 $\mathsf{FH}_k$ は $\mathsf{FH}_{k+1}$ 厳密に含まれています）。

— ロビンコタリ
ソース

18

-「反階層」に沿って、ボロディンのギャップ定理は言及する価値があるかもしれません。

定理。すべての合計計算機能のためのように、総計算ありように。 $f : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ $f(n) = \Omega(n)$ $g : {\mathbb N} \rightarrow {\mathbb N}$ ${\sf TIME}[g(n)] = {\sf TIME}[f(g(n))]$

これは、が時間構築可能でないことを除いて、時間階層定理と矛盾します（実際、これが、ほとんどの複雑度階層のステートメントに構築可能性の仮定を持たなければならない理由です）。 $g$

-次のような通常の時間階層の興味深い強化もあります。

T I M E [n^{k}] ⊈ i . o . - T I M E [n^{k - 1}] / (n - \log n)

${\sf TIME}[n^k] \not\subseteq i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

（時間の問題はありますは、ビットのアドバイスを使用するタイムマシンでは、無限に多くの入力長であっても正常に解決できません）。証明は簡単です。ビットのアドバイスを2番目の入力として受け取るタイムマシンをリストさせます。定義分割にどこ、実行し、反対の答えを出力します。次に、。 $n^k$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $\{M_i\}$ $n^{k-1}$ $n-\log n$ $M'(x)$ $x$ $x=yz$ $|z|=\log |x|$ $M_z(x,y)$ $L(M') \notin i.o.{\sf -TIME}[n^{k-1}]/(n-\log n)$

-特定の状況における既知の時間階層の欠如を考慮すべきです（未解決の問題として）。たとえば、？ ${\sf BPTIME}[n] = {\sf BPP}$

— ライアン・ウィリアムズ
ソース

2

それは？それ以外の場合、ステートメントは面白くありません。単に選択してください。

T I M E [g (n)] = T I M E [f (g (n))]

$\mathsf{TIME}[g(n)] = \mathsf{TIME}[f(g(n))]$

g (n) = n

$g(n) = n$

— サショニコロフ

@Sasho、そうです。ボロディンのギャップ定理（リンク経由）の声明も同様に述べています。

— ダニエルアポン

16

Complexity Zooは、いくつかの階層を提供します。その中で、カウント階層とブール階層はまだ引用されていません。

[編集]私の答えをより有益なものにするために、カウント階層の簡単な定義。

${\sf C_0P} = {\sf P}$
${\sf C_1P} = {\sf PP}$
${\sf C_{k+1}P} = {\sf PP^{C_kP}}$

そして、多項式階層に関しては、はとして定義されます。 $\sf CH$ $\bigcup_k {\sf C_kP}$

カウント階層は、ワーグナーによって定義されました[Wag86]。しきい値回路の理論へのリンクは、Allender＆Wagner [AW93]によって発見されました。さらに最近では、Bürgisser[Bür09]は、ValiantのモデルをShubとSmaleの予想に関連付けるために、カウント階層も使用しました。特に、彼は予想が永久の超多項式下限を意味することを証明した。 $\tau$ $\tau$

[Wag86] KWワグナー。簡潔な入力表現による組み合わせ問題の複雑さ。Acta Mathematica 23（3）、325-356、1986。
[AW93] E. Allender＆KW Wagner。階層のカウント：多項式時間および定深度回路。コンピューターサイエンスの最新動向、469-483、1993。
[Bür09] P.Bürgisser。整数の定義と算術回路の下限の証明について。計算の複雑さ 18（1）、81-103、2009。

— ブルーノ
ソース

16

ゴールドライヒら al。プロパティテストの階層定理があります。

Oded Goldreich、Michael Krivelevich、Ilan Newman、Eyal Rozenberg：プロパティテストの階層定理。プロパティテスト、コンピューターサイエンスの講義ノート、Vol。6390、pp。289-294、Springer、2010。

また、上のECCC。

— ヨナタン
ソース

ここでは、ほとんどのプロパティが量子モデルでクエリを必要とすることが示されています。これを答えの階層定理の証明にプラグインして、量子特性テストにも当てはまることを示すことができます。（実際には、テストするためにクエリを必要とする少なくとも1つのプロパティと、計算可能なを必要とする自然な計算モデルの場合、テスト可能なプロパティがありますクエリ）。

Ω (n)

$\Omega(n)$

Ω (g (n))

$\Omega(g(n))$

f (n) \in O (g (n))

$f(n) \in O(g(n))$

Θ (f (n))

$\Theta(f(n))$

— アルテムKaznatcheev

15

Sipserは内に深さ階層を示しましたつまり、ポリサイズの深さ回路は、ポリサイズの深さ回路よりも強力です。 $AC^0$ $d+1$ $d$

Sipser、M。Borelのセットと回路の複雑さ。STOC 1983。

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

11

Dieter van Melkebeekと共著者は、ランダム化を含むアドバイスを伴うセマンティックモデルの時間と空間の階層を持っています。

ディーター・バンMelkebeek、コンスタンチンPervyshev：Aジェネリック時間階層のアドバイスの1ビットを持ちます。計算の複雑さ16（2）：139-179（2007）
ジェフ・キン、ディーター・ファン・メルケベーク：ランダム化モデルおよびその他のセマンティックモデルの空間階層結果。計算の複雑さ19（3）：423-475（2010）

— タイソン・ウィリアムズ
ソース

10

アドバイス付きのセマンティッククラスの階層を次に示します。特に、ZPTIMEおよびRTIME用。

ランスフォートナウ、ルフルトレビザン、ラフルサンタナム。セマンティッククラスの階層。STOC'05。

— マルコス・ヴィラグラ
ソース

10

実数にはZheng-Weihrauch階層があります

X. andとK.ウェイラフ。実数の算術階層。Mathematical Logic Quarterly.Vol。47（2001）、no.1 51-65。

— 誰か
ソース

9

1975年のL. AdelmanとK. Mandersの論文で定義されているクラスがあり、これはクラスジオファンチン類似物です。言語は、ような多項式が存在する場合、含まれます。がと等しいかどうかは未解決の問題です。この平等性は、数論とコンピューターサイエンスの関係を示しています。 $\mathsf{D}$ $\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{D}$ $P$

x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1}, \dots y_{n} < p o l y (| x |) : P (x, y_{1}, \dots, y_{n}) = 0.

$x \in L \Leftrightarrow \exists y_1, \dots y_n < poly(|x|) \colon ~P(x, y_1,\dots, y_n) = 0.$

D

$\mathsf{D}$

N P

$\mathsf{NP}$

「ディオファンティン階層」と呼ばれる、多項式階層のディオファンティン類似体があります。多項式とディオファントインの階層が絡み合っています：

\forall i \geq 1, Σ^{i} D \subset Σ^{i} P \subset Σ^{i + 1} D

$\forall i \ge 1,~\Sigma^i D \subset \Sigma^i P \subset \Sigma^{i + 1}D$

— Alexander Knop
ソース

あなたは意味するかdoi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1975.9またはdoi.ieeecomputersociety.org/10.1109/SFCS.1976.13を？

— アンドラスサラモン

D

$D$ は2番目に定義されます（「Diophantine Complexity」）。

— GMB 14

@AndrásSalamonリンクは機能しないようです。

8

別の厳密な階層：限られた回数だけ各ビットをテストする分岐プログラム。より多くのテストが許可されると、分岐プログラムのクラスが大きくなります。通常、分岐プログラムも多項式サイズに制限されます。BP _d（P）は、各ビットを最大回テストできる多項式サイズの分岐プログラムのクラスです。 $d$

L / polyはすべてのdに対するBP _d（P）の結合であり、BP _d-1（P） BP _d（P）はdごとにあります。 $\subsetneq$

— 3回転
ソース

8

でパラメータ化の複雑さの理論だけですでに言及したものの、いくつかの階層があります -hierarchyが表示され、多くの場合、出版物では。その他は： $\mathsf{W}$

$\mathsf{A}$ 階層
$\mathsf{AW}$ -hierarchy
$\mathsf{EW}$ 階層
$\mathsf{LOG}$ 階層
$\mathsf{M}$ 階層
$\mathsf{S}$ 階層
$\mathsf{W^∗}$ 階層
$\mathsf{W^{func}}$ 階層

これらはすべて、パラメータ化された複雑性理論、Flum and Grohe、Birkhäuser、2006で説明されています。

— Martin Lackner
ソース

7

これがあなたの基準に合うかどうかはわかりませんが、星のない通常の言語のドット深度階層があります。

— ムム
ソース

6

回路サイズの階層。前の質問を参照してください。

— エマヌエーレヴィオラ
ソース

5

無限の木の通常の言語の理論は、いくつかの階層を生み出しました。それらは現在研究されており、多くの疑問が未解決のままです。

無限ツリーでオートマトンを使用する場合、パリティ条件（またはMostowski条件）は特に重要です。これは、非決定性パリティオートマトンがすべてのイニニットツリーの正規言語を表現でき、受け入れ条件の構造がRabinやMüllerのような他のものよりも単純であるためです。

すべてのパリティオートマトンにはランク があり、およびで、受け入れ条件の構造を表します。そのため、言語の場合は、ランクの（DET / ND / ALT）オートマトンによって認識可能である、我々はそれを言うに属している（それぞれ）のレベルの： $[i,j]$ $i\in\{0,1\}$ $i\leq j$ $L$ $[i,j]$ $L$ $[i,j]$

決定論的モストフスキー階層（すべての通常言語ではない）
非決定論的モストフスキー階層
交互のモストフスキー階層

交互階層のレベル（つまり、はBüchiとco-Büchiの両方が定義可能）は、弱いレベルに対応し、弱い交互オートマトンによって特徴付けられ、階層を発生させます。 $\Sigma_2\cap \Pi_2$ $L$

弱いインデックス階層（すべての通常言語ではない）

これらのすべての階層（決定論的なものを除く）では、特定の正規言語レベルのメンバーシップの決定可能性は未解決の問題です。これらの階層とトポロジ分類（Wadge階層およびBorel階層とも呼ばれる）の間のリンクも、いくつかの未解決の問題を引き起こしました。たとえば、弱いインデックス階層とBorel階層が一致すると推測されます。これらのすべての階層は厳密であることが知られており、レベル（特に低レベル、または入力決定オートマトンを使用して）を決定するいくつかの特別なケースが最近解決されました。 $L$

— dkuper
ソース

4

命題の証明の複雑度には、回路の複雑度と同様の階層があります。例えば、命題屋根システムはに似ており、CのC-Frege証明システムは回路複雑度クラス似ています。 $G_i$ $\mathsf{PH}$ $C \subset \mathsf{P}$ $C$

理論など、有界算術にも階層があります。 $\mathsf{S^i_j}$

— カベ
ソース

4

以下は、山上智之による文脈自由言語の新しい階層です。

彼は、非決定性プッシュダウンオートマトンとチューリングおよび多対一の還元性の概念にオラクルメカニズムを導入しています。次に、多項式階層に類似したコンテキストフリー言語（CFL）の新しい階層が構築されます。たとえば、、など。これらのすべての興味深い部分は、多項式階層が崩壊する場合にのみ、CFL階層の崩壊が発生することです。 $CFL$ $CFL^{CFL}$

— マルコス・ヴィラグラ
ソース

3

OP（GoldreichKNR09）で言及されている箇条書きの1つについて詳しく説明します。プロパティテストと近接性の証明には、クエリの複雑さ、適応性、またはラウンド数に関するテスト可能性に関するいくつかの階層定理があります（近接）。たとえば、

特性試験のための階層定理、オデッド・ゴールドレイック、マイケルKrivelevichIlanニューマン、およびエヤルRozenberg、2012年 https://link.springer.com/article/10.1007/s00037-011-0022-4 [OPで述べ]
対話型近接証明の階層定理、Tom GurおよびRon Rothblum、2017年。http： //drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2017/8153/
Size-Oblivious Query Complexityでプロパティをテストするための階層定理、Oded Goldreich、2018。https ：//eccc.weizmann.ac.il/report/2018/098/
プロパティテストの適応階層定理、 ClémentCanonneおよびTom Gur、2018年。https： //link.springer.com/article/10.1007%2Fs00037-018-0168-4

— クレメントC
ソース

最初の回答（GoldreichKNR09）に焦点を当てたこの回答へのポインター。

— クレメントC.

3

cs.stackexchangeに関するこの質問から、私は通常の言語の属階層に気づきました。基本的に、DFAのグラフが埋め込まれる可能性のある最小の属の表面に基づいて、通常の言語を特徴付けることができます。[1]には、任意の大きな属の言語が存在し、この階層が適切であることが示されています。

ボンファンテ、ギヨーム、フロリアン・デループ。「通常の言語の属。」コンピュータ科学の数学構造28.1（2018）：14-44。

— ムム
ソース

2

多項式階層のカウント、略して#PH。最初のレベルは#P、次に#NP ...などです。

— Tayfun Pay
ソース

1

通信の複雑さ多項式階層Babai、フランクル、サイモンによって定義される（参照、ここで元の紙とペイウォールことなくここに）。この階層の重要性を過大評価することは困難です。まず、階層を導入したのと同じ論文で、BFSによって非結合性関数が導入され、非結合性はcoNP完全な問題として非常に自然に現れました。ご存知のように、互いに素である通信複雑で機能。第二に、通信の複雑さの多項式階層に対する下限を証明することは、TCSの他の領域に重要な意味を持つ大きな未解決の問題です（たとえば、このペーパーとその中の参考文献を参照）。 $^{cc}$

— デニス・パンクラトフ
ソース

追加してくれたおかげで、私はあなたのコメントを編集して、coNPがコミュニケーションの複雑さを指すようにしました（これは、表記の混乱を避けるためにコミュニケーションの複雑さのコミュニティで一般的に削除されていることを知っています）

— chazisop

1

曖昧でない多項式階層、ここで参照、曖昧でない多項式階層（ペイウォール）の元の参照を考えてください。ブール階層BH、およびクロージャに関連する素晴らしい結果をもたらすなどのクラスを検討し、違いを設定することで、明確な計算への接続を探索できます。 $D_{p}$

著者（元の参考文献）が述べているように、クラスおよびはおよび関連する結果を提供します。明確な回路を使用すると、異なる方法で特徴付けることができます。また、上記の階層に関連するのは、Promise Unambiguous Hierarchyです。曖昧性のない多項式階層の「低さ」の結果-「スパースチューリングコンプリーターセットがある場合、階層が下位レベルに崩壊するか、「曖昧さのない約束のケース」になります」。 $NC^{k}$ $AC^{k}$ $P$ $PSPACE$ $P$ $UP$

ブール接続詞のさらなる研究に関連しており、グラフ同型は低階層および高階層であり、これもウィキペディアのリファレンスです。

— ユーザー3483902
ソース

0

あいまいな側面について：有限モデル理論における不動点論理の私の2次階層定理。さらに別の階層定理を参照してください。

— マックス・クビエルスキー
ソース