「P」と「NP-hard」の居心地の良い近所

ましょアルゴリズムの作業になります。（決定問題、最適化問題、またはその他のタスクのいずれかです。）XがNP困難であると仮定して、多項式階層が崩壊することを意味することがわかっている場合、Xを「多項式側」と呼びます。Xが多項式アルゴリズムを受け入れると仮定して、多項式階層が崩壊することを意味することがわかっている場合、Xを「NP側」と呼びましょう。$X$$X$$X$$X$$X$

もちろん、Pのすべての問題は多項式側にあり、NP困難な問題はすべてNP側にあります。また、たとえば、因数分解（またはNP交差coNPのすべて）は多項式側にあります。グラフ同型は多項式側にあります。QUANTUM-SAMPLINGはNP側にあります。

1）多項式側のアルゴリズムタスクの（可能な限り自然な）例、および（特に）NP側のより多くの例に興味があります。

2）単純に、NP側はNP困難問題の一種の「近傍」であり、P側は「Pの近傍」であるように見えます。NP側の問題をP側の問題と比較して「かなり難しい」と考えるのは正しい洞察ですか。または、NP側の問題を「道徳的にNP困難」と見なすこともできますか？

3）（これは明らかかもしれませんが、私には見えません）両側にがありますか、またはそのようなXがありそうもないと信じる理論的な理由があります。更新答えはYESです。以下のユバルフィルマスの回答を参照してください。$X$$X$

（これらの「サイド」が実際の複雑さのクラスに関連し、関連するccの専門用語や関連する結果が見当たらない場合はお知らせください。）

更新：現在、この質問に対するいくつかの非常に良い答えがあります。Yuval Filmusが最初に指摘し、再度言及したように、質問は形式的ではなく、XがP側/ NP側にあることを示す議論に対する制限が必要です。（さもなければ、両側にある0 = 1の証明を提示するタスクをXにすることができます。）これをさておき、NP側の問題X（本物）が何らかの形で硬度をキャプチャする場合があります。ただし、これは、SATの硬度が証明可能な方法で（わずかでも）弱められているP側の問題の場合もあります。Yuval Filmusは、両側にあるSATの弱体化バージョンを提供しました。Andy Druckerは（2つの回答で）SchöningのLowおよびHigh階層への参照を含む5つの興味深い例を示し、Scott Aaronsonはさらに興味深い例を示しました。NPの硬さに近い一方向関数を逆変換する問題に言及しましたが、P側では、QUANTUMSAMPLINGの興味深いケースについても説明しています。FeigeとLundによるこの種の古い結果に出会いました。

「P側」と「NP側」という用語、そしてもちろん質問のタイトルは、Pを囲む「居心地の良い近所」とNP困難な問題を囲む「居心地の良い近所」を想像することをお勧めします。しかし、これらの2つの地域はそれほど「居心地の良い」ものではないと主張したいと思います。

最初の観察として、「P側に」問題があり、それはPよりもNPにはるかに「道徳的に」近いようです。もちろん、Gilが予想する1つの例は、一方向関数を反転する一般的な問題です（許可される削減のタイプに応じて、Bogdanov-TrevisanまたはAkavia et al。を参照してください。

逆に、NP困難であることから「任意に」見える「NP側」の問題もあります。馬鹿げた例の1つは、Lを超える確率1のランダム言語Lです！そのようなLがPにある場合、0 = 1であり、数学は矛盾しているため、PHも崩壊します。;-D

（ランダム言語L も「P側」にあり、Lよりも確率1であることに注意してください。このようなLのほとんどすべてに、NP困難な場合、NP⊆BPPとPHが崩壊する性質があります。は、ラダーの定理への訴えよりもはるかに単純な証拠であり、両方の「両側」に言語が存在することを示しています。両側にあります！）

これは、ゲームをプレイする少年のように聞こえますが、そこから引き出したい重大な教訓があります。QUANTUM SAMPLINGは正式には「NP側」ですが、その問題はランダムな言語Lよりも「道徳的にNP困難」に近いものであると私は主張します。ArkhipovとI（および独立して、Bremner-Jozsa-Shepherd）は、QUANTUM SAMPLINGがP（または、むしろ、SampBPP、多項式的に解決可能なサンプリング問題のクラス）にある場合、P ^#P = BPP ^NPであり、したがって、多項式階層が崩壊します。しかし、BPPマシンの場合、BosonSamplingのオラクルは、私たちが知る限り、ランダムオラクルよりもNP完全問題の解決に近づきません。NP完全な問題を解決する能力を既に持っている場合にのみ-たとえば、^NPマシン-BosonSamplingオラクルが能力をさらに高め、＃Pにすることを「通知」しますか。しかし、NPを#Pまでブーストする特性は、NPハードであるという特性とは異なり、おそらく「直交」さえするようです。

ちなみに、Gilの質問が示唆する素晴らしい未解決の問題は、BosonSamplingも「P側」にあるかどうかです。つまり、NPがBosonSamplingに減少すると、PHが崩壊することを示すことができますか？私は明白な何かを見逃しているかもしれませんが、一見、NP⊆BQPの場合にPHが崩壊するというより強い意味を証明する方法を知っている以上に、そのようなことを証明する方法がわかりません。

2つのコメント。どちらも答えにはなりませんが、さらに有益な情報を提供します。

$\cap$$\cap$

http://www.informatik.hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenII/Publikationen/Abstracts/low.ps.abstr_html

$t$

http://eccc.hpi-web.de/report/1999/045/

明確にするために、この問題がNP困難ではないことや、何らかの意味で簡単であるという本当の証拠はありません。しかし、NPの他の難しい問題とはまったく異なるようです。これはNP中間問題の最も興味深い候補の1つであり、よく知られているものではないと思います。

$X$

$M_i$$M_i$$n^{\log\log i}$$(\alpha,\beta)$

$f(n)$$f(1) = 1$$f(n)$$f(n+1)$$X_n$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$|\phi| \leq n$$\phi$$x$$\log n$$x \in L(M_{f(n)}) \triangle X_n$$f(n+1) = f(n)+1$$f(n+1) = f(n)$$f(n)$$n$

$X$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$\phi$$X = \bigcup_n X_n$

$X$$M_i$$f(n) \leq i$$n$$M_i$

$g$$X$$n^k$$X$$f(n) \longrightarrow \infty$$f(n) > k$$n \geq n_0$$g$$n_0$$(\phi,1^{|\phi|^{f(|\phi|)}})$$f$$g$

$PH$$P \neq NP$

$SAT$$NP$$SAT$$P = NP$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/2q.pdf

$SAT$$\psi$$m$$n \ll m$$\psi$$n$$m$$SAT$

Bodlaender、Downey、Fellows、およびHermelinの質問への回答で、FortnowとSanthanamによって、Poly Hierarchyが崩壊するため、このような圧縮の削減はありそうにないことが示されました。

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

それらの結果は、片側誤差を許容するランダム化された削減に適用されました。私は、両面エラーに対応する結果を証明しました

http://eccc.hpi-web.de/report/2012/112/

（これらの論文のそれぞれは、実際には上記の結果よりも強力で具体的な情報を提供します。）

$PH$$PPAD$$PH$$A$$PPAD^A$$TFNP^A$$PH^A$

http://people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/phq.pdf

$X$$P$ $\Rightarrow$ $PH$$PH$

FeigeとLundがこの結果に出くわしました。多項式階層が崩壊しない限り、ランダム行列のパーマネントに関する非常に部分的な情報でさえ推測することは困難です。

Uriel FeigeとCarsten Lund、ランダム行列の永続性の計算の難しさについて。 計算の複雑さ6（1996/1997）101-132。

また、Uri Feigeから注目された2つの追加の関連する結果についても言及します。

次の2つの論文は、これをカーネル化のコンテキストで適用します（固定パラメーターの扱いやすいアルゴリズム）。

Hans L. Bodlaender、Rodney G. Downey、Michael R. Fellows、Danny Hermelin：多項式カーネルのない問題について。J.計算 システム。科学 75（8）：423-434（2009）

ランスフォートナウ、Rahul Santhanam：NPのインスタンス圧縮と簡潔なPCPの実行不可能性。J.計算 システム。科学 77（1）：91-106（2011）