グラフ同型問題に対する準多項式時間アルゴリズムの結果

グラフ同型問題（GI）は、おそらくのための最良の既知の候補であるNP-中間問題。最もよく知られているアルゴリズムは、実行時準指数アルゴリズムです。多項式階層が崩壊しない限り、GIは完全ではないことが知られています。N$2^{O(\sqrt{n \log n})}$$\mathsf{NP}$

グラフ同型問題に対する準多項式時間アルゴリズムの複雑性理論的な結果はどうなるでしょうか？
GIの準多項式時間アルゴリズムは、複雑性理論の有名な推測に反論するでしょうか？

トーナメントの最小支配集合問題、グループ同型写像問題、トーナメント同型写像問題のような他の同様の問題には、準多項式時間（QP）アルゴリズムがあります。後者の2つの問題は、GIに対して多項式時間で縮約可能です。

トーナメントの最小支配セットの問題を効率的にGIに減らすことはできますか？
QPにとってGIが難しいと推測する推測はありますか？

更新（2015-12-14）：Babaiは、GIの準多項式時間アルゴリズムのarXivに関する予備的な草案を投稿しました。

更新（2017-01-04）：Babai はアルゴリズムが準多項式時間にあるという主張を撤回しました。新しい分析によれば、アルゴリズムは準指数時間にありますの内側にある。2 n o （1 $\exp \exp(\tilde{O}(\sqrt{\lg n}))$$2^{n^{o(1)}}$

更新（2017-01-09）：ババイは準多項式時間の主張を復活させ、問題の手順をより効率的な手順に置き換えました。

私が知る限り、GIがQPにあるという単なる事実（ブラックボックスとして）の結果について単純に尋ねると、答えはほとんどないと思います。私が考えることができる1つのことは、定理ではなく、研究の方向性の結果であり、グループ同型です。GroupIsoはGIに還元され、GroupIsoがPにあるかどうかさえわからないので、GroupIsoをPに入れることは、GIをPに入れることの重要な障害と見なすことができます（後者が当てはまる場合）。

ただし、GroupIsoの自明なアルゴリズムはであるため、GIの複雑さがに戻ったとき、GroupIsoがGIをPに入れるのにすぐに関連する障害になる前に、GIの複雑さを改善する方法。しかし、GIがQPにある場合、GroupIsoはGIのさらなる改善にはるかに関連する障害になります。（もちろん、準多項式の指数の指数は依然として潜在的に関連するギャップですが、GIがQPにある場合、ギャップははるかに小さくなります。） 2 〜O（$n^{\log n + O(1)}$$2^{\tilde O(\sqrt{n})}$

最後の質問に関して：時間階層定理は、多項式時間の多対一またはチューリング簡約のもとで、QPには完全な問題がないことを直ちに暗示します。（一方で、と保存するすべての問題は準多項式簡約の下でQP困難です。）したがって、Babaiの結果が正しいと仮定すると、GIはQP困難ではありません。Σ $\varnothing$$\Sigma^*$

グラフ同型問題に対する準多項式時間アルゴリズムの複雑性理論的な結果はどうなるでしょうか？

素数性テストの決定論的多項式時間アルゴリズム、線形計画法の決定論的多項式時間アルゴリズム、および実際に効率的な（ランダム化された）アルゴリズム（アルゴリズムが非効率になったまれな病理学的例）がわかっていた場合の結果に多かれ少なかれ似ていますそして長い間使用されています。実際の効率は、まれな病理学的例の問題を克服する決定論的理論アルゴリズムの存在の良い指標であるという推測を確認します。

GIの準多項式時間アルゴリズムは、複雑性理論の有名な推測に反論するでしょうか？

いいえ、推測はむしろ反対のサイトに行きます。すなわち、GIはPにあります。GIはNPにあるため、このタイプの推測にすぐに反論することはできません。

トーナメントの最小支配セットの問題を効率的にGIに減らすことはできますか？

最小支配集合は同型の問題ではないため、GIに還元可能であると期待される理由はありません。

QPにとってGIが難しいと推測する推測はありますか？

文字列同型の問題をGIに還元する方法すら知らず、これは少なくとも同型の問題です。Babaiの証明は、文字列同型がQPにあることを示したので、...そしてQPにとって意味のあることさえ難しいのは何ですか？多項式時間の短縮では困難ですか？

フランソワ・ル・ガルとデイビッド・J・ローゼンバウムによる「グループと色同型問題について」の紹介から

同型性テスト問題の複雑さは、それらが基本的な計算問題であり、またそれらの多くがPにあることは知られていないが、それでもNP完全問題より簡単であるように見えるため、研究に値します。これらの中で最もよく研​​究されているのは、グラフ同型問題です。

$\mathsf{GI}^*$$\mathsf{GrI}^*$（上記の論文で、しかし著者はなぜ誰も前にそれをしなかったのか疑問に思う）が定義されており、文字列同型問題から欠けている部分を追加します。（そして、色同型問題は、文字列同型問題とは異なる名前です。名前色自己同型問題は、BabaiとLuksの最初の論文にまでさかのぼります。

$\mathsf{GI}^*$

編集：この答えは、ババイが修正を発表する前に、ババイの結果を撤回するという文脈で与えられました。文字列同型問題によって示唆されるグラフ同型問題のわずかな一般化が本当に重要な問題であることを示唆しています。ここでの暗黙の期待は、グラフ同型問題の合理的なアルゴリズムが、一般化グラフ同型問題の同様のアルゴリズムにつながることです。一般化された問題は、セットスタビライザー問題、グループ交差問題、コセット交差問題、セットトランスポーター問題に相当する多項式時間です...この期待の背後にある考え方は、一般化された問題が再帰部分で発生することです合理的なアルゴリズムであるため、とにかく対処しなければなりません。（そして、一般化された問題がグラフ同型に相当する多項式時間である可能性は十分にあります。）

現在、Joshua Grochowのコメントは、文字列同型問題の欠落部分の概念的な重要性を説明することに成功しなかったことを示しています。無限の構造の場合、有効な同型は与えられた構造を保存するだけでなく、適切な関数のカテゴリ（たとえば、連続関数のカテゴリ）にも属している必要があることを理解する方が簡単です。有限構造の場合、類似の現象は主に商構造に対して発生し、関数の適切なカテゴリは与えられた商と互換性があるはずです。ジョンソンのものは、そのような商の典型的な例です。たとえば、パーティションロジックは、あるベースセットの2つの要素サブセットに対して機能します。また、同型の許容カテゴリを制限すると、同型テストの問題が簡単になることが多いことに注意してください。

グラフ同型問題の一般化に伴う問題は、どこでやめるかです。順列群同型問題を含む限り一般化しないのはなぜですか？グラフ同型の多くの非自明な結果はおそらく置換群同型にも引き継がれるので、この質問は本当に難しいです。ただし、ここでは、グラフ同型問題と実際に密接な関係があるとしても、計算置換グループ理論をそれ自体が主題として扱う方が合理的です。