固定深度の特性？

これは、回路の複雑さに関する質問です。（定義は下部にあります。）

YaoとBeigel-Tarui は、サイズすべての回路ファミリーが、深さ2のサイズの等価回路ファミリーを持つことを示しました。ここで、出力ゲートは対称関数であり、第2レベルはのゲートの $ACC^0$ $s$ $s^{poly(\log s)}$ $AND$ $poly(\log s)$ ファンイン。これは、回路ファミリのかなり注目すべき「深さの崩壊」です。深さ100の回路から、深さを2に減らすことができます。

私の質問：回路ファミリを同様に表現する既知の方法はありますか？もっと野心的に、回路ファミリはどうですか？潜在的な答えは次の形式になります。「サイズすべての回路は、サイズ深さ2ファミリによって認識できます。出力ゲートはタイプ関数であり、ゲートの第2レベルはタイプ」。 $TC^0$ $NC^1$ $TC^0$ $s$ $f(s)$ $X$ $Y$

それはありません持っている深さ-2であることを、固定の深さの結果の任意の並べ替えは、興味深いものになるだろう。すべての回路が深さ3で対称関数ゲートのみで構成される回路で表現できることを証明することは非常に興味深いでしょう。 $TC^0$

いくつかの小さな観察：

場合答えはのために自明である任意の（我々がどのような機能を発現することができるブール関数の S）。具体的には、要求します。 $f(n)=2^n$ $OR$ $2^n$ $AND$ $f(n) = 2^{n^{o(1)}}$
またはいずれかが計算可能な任意の関数として許可されている場合も、答えは簡単です。:)これが何であれ、明らかに「単純な」関数に興味があります。計算できない対称関数ファミリがあるため、定義するのは少し滑りやすいです。（計算できない単項言語があります。）必要に応じて、ステートメント内のおよびを対称関数に単純に置き換えることができますが、他の適切なゲートの選択に興味があります。 $X$ $Y$ $TC^0$ $X$ $Y$

（表記の簡単な思い出：

$ACC^0$ $AND$ $OR$ $MOD_m$ $m > 1$ $MOD_m$ $1$ $m$

$TC^0$ $MAJORITY$

$NC^1$ $AND$ $OR$ $NOT$

$ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

cc.complexity-theory circuit-complexity upper-bounds

— ライアン・ウィリアムズ
ソース

k

$k$

k + 1

$k+1$

T C^{0}

$TC^0$

T C^{0}

$TC^0$

N C^{1}

$NC^1$

ライアン、あなたがここでどのような答えを求めているのかわかりません。本当に対称ゲートについて話している場合（これらは深さ2の過半数でシミュレートできるため）、あなたの質問はTC0が一定の深さまで崩壊することと同等です（おそらく、サイズの若干の超多項式の増加を伴う）-よく知られています未解決の問題。対称性を「リラックス」させたい場合、バリントンの結果は期待できるほど良いと思われますか？

— ノアム

@Noam：他に興味深い答えがあるかどうかを確認したいと思います。ない場合は、Lanceに300を渡します。また、中間の可能性もあります。たとえば、出力に対称関数を備えた深さ3の回路ですが、他の2つの層では必ずしも対称ではありません。とにかく、5分間それについて考えさせることは、すでに300バウンティの価値があります。

— ライアンウィリアムズ

そして今（11月8日以降）この質問の起源を知っています

— ...-スリムトン

$TC^0$ $AC^0$ $TC^0$ $A$ $TC^0$ $f$ $\sharp AC^0$ $k$

$x \in A$ $f(x) = 2^{|x|^k}$

$\sharp AC^0$ $Z$ $x_i$ $1-x_i$

ボアズが彼の答えで指摘しているように、算術回路の重要な深さの減少があることを考えると、これは検討すべきものかもしれません。

— クリストファー・アーンスフェルト・ハンセン
ソース

$NC^1$

— ランス・フォートナウ
ソース

ここで、バリントンの定理が興味深いことを暗示していることに同意します。しかし、この出力ゲートは非常に「非対称」な機能です:)

— ライアンウィリアムズ

実際には、深さ1の回路を取得しているように見えます...置換を（たとえば）5x5ブール行列として表し、それは置換乗算ゲートへの単なる投影です。

— ノアム

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$ $O(\log n)$ $O(n)$ $g$ $NC_0[n^{\epsilon}]$ $f$ $2^{n-o(n)}$ $f$ $g$ $NC^1$

— ボアズ・バラク
ソース

T C^{0}

$TC^0$

O (n / (ε \log \log n))

$O(n/(\varepsilon \log \log n))$

ε \log n

$\varepsilon \log n$

g

$g$

f

$f$

クリストファー、リンクを別の回答として追加できますか？ありがとう！

— ライアンウィリアムズ

o (n)

$o(n)$

n^{ϵ}

$n^{\epsilon}$

2^{n - o (n)}

$2^{n-o(n)}$