SATソルバーの実際の成功の理論的説明は？

SATソルバーの実用的な成功のために、どのような理論的説明がありますか。誰かがそれらをまとめて「ウィキペディアスタイル」の概要と説明を与えることができますか？

同様に、シンプレックスアルゴリズムの平滑化解析（arXivバージョン））は、最悪の場合指数関数的な時間がかかり、NPマイティ（arXivバージョン）であるという事実にもかかわらず、実際にうまく機能する理由を説明する素晴らしい仕事をします。

バックドア、条項グラフの構造、および相転移などについて少し聞いたことがありますが、（1）これらがどのように組み合わさって大きな画像を提供するか（もしあれば）、および（2） SATソルバーが産業用インスタンスなどでうまく機能する理由をこれらが本当に説明しているかどうかはわかりません。また、節グラフの構造のようなものになると、現在のソルバーが特定の節グラフ構造を利用できるのはなぜですか？

少なくとも現在の私の理解では、相転移についての結果はこの点で部分的に満足しているだけです。相転移の文献はランダムな k-SATのインスタンスに関するものですが、実際のインスタンスについては本当に説明できますか？SATの実世界のインスタンスがランダムなインスタンスのように見えるとは思わない。したほうがいい？ランダムなインスタンスのように見えなくても、フェーズ遷移が実世界のインスタンスについて直感的にさえ何かを伝えると考える理由はありますか？

関連する質問は役立ちますが、私の質問には完全には答えられません。特に、物事をまとまりのある写真にまとめるためのリクエスト：

• SATソルバーに大きな違いがあるのはなぜですか？

• どのSATの問題は簡単ですか？

• ランダムな3SATからのツリー幅とインスタンスの硬さとの相関関係は何ですか？

SATコンペティションで使用されているようなベンチマークデータセットでCDCL SATソルバーを参照していると思います。これらのプログラムは、多くのヒューリスティックと多くの最適化に基づいています。2014年にバンフで行われた応用SATの理論的基礎ワークショップで、彼らがどのように働くかについての非常に良い紹介がありました （ビデオ）。

これらのアルゴリズムは、競合を検出したときに変数とバックトラックに値を設定することにより、満足のいく割り当てを見つけようとするDPLLバックトラッキングアルゴリズムに基づいています。人々は、これらのヒューリスティックがどれほどの影響を与えるかを見てきました。例えば

• Hadi Katebi、Karem A. Sakallah、Joao P. Marques-Silva、「現代土ソルバーの解剖学の実証研究」、2011

ベンチマークでのこれらのSATソルバーの効率は、主に2つの2つのヒューリスティック（およびそのバリアント）に由来するようです。

1. VSIDSヒューリスティックfirは、次に分岐する変数を選択します。
2. CDCL：競合から新しい句を学習する競合駆動型の句学習ヒューリスティック。

DPLLプルーフが解像度のプルーフに対応することはよく知られています。CDCLがない場合、取得できる唯一の解像度証明は、一般的な解像度証明よりもはるかに弱いツリー解像度証明です。

一般的な解像度の証明を取得できることをCDCLで示す結果があります。ただし、注意点があり、多くの人為的な再起動、人為的な分岐、および/または特定の前処理が必要であるため、これらがこれらのプログラムの実際の動作にどれだけ近いかは明確ではありません。詳細については、たとえば次のペーパーを参照してください。

• Paul BeameおよびAshish Sabharwal、「単純な前処理を備えた再起動しないSATソルバーは解像度を効率的にシミュレートできる」、2014年

CDCLは、本質的にサーチスペースからブランチをカットしています。紛争から新たな教訓条項を導き出すには、さまざまな方法があります。理想的には、競合を暗示する最小限の節のセットを追加しますが、実際には、それは大きく、計算に費用がかかる可能性があります。トップSATソルバーは、学習した句を定期的に削除することが多く、実際に役立ちます。

他のヒューリスティックVSIDSは、基本的に各変数のスコアを維持します。競合が発生するたびに、すべてのスコアに値 <1を掛けて、競合に「関与した」スコアに定数を追加することにより、すべてのスコアが調整されます。これが何を意味するかを見るために、変数vが番目の競合に「関与」している場合、1であるシーケンスについて考えてください。してみましょう固定一定です。時間での変数のスコアは次のとおりです。 F （V 、I ）I 0 < α < 1 V N Σ I < N F （V 、I ）α （N - I $\alpha$$F(v,i)$$i$$0<\alpha<1$$v$$n$

直観的に、これは最近の紛争に一貫して関与していた変数を強調しようとすると言うことができます 。また、次の競合にどの変数が関与するかを予測する単純で非常に安価な方法と考えることもできます。したがって、VSIDSはこれらの変数で最初に分岐します。アルゴリズムは本質的にフェイルファーストアルゴリズムであると主張でき、競合を迅速に見つけます。Fastは、変数セットの数が少ないことに関連しています。つまり、検索ツリーの大きなサブツリーをブロックします。しかし、これはほとんど直観的であり、SATデータセットでテストすることを非常に慎重に公式化した人はいません。これらのデータセットの1つでSATソルバーを実行することは、最適な決定（節の1つに違反する変数への現在の割り当ての最小拡張）と比較することはもちろん、安くはありません。VSIDSは、各競合としてバンプする変数にも依存します。変数が競合に関与するタイミングを定義するさまざまな方法があります。

これらのアイデアの特定の実装が動的グラフの頂点の時間加重中心性に対応することを示す結果があります。

また、NPハード問題や暗号プリミティブに基づくもののような敵対的なインスタンスや、CDCL SATソルバーが得意ではないランダムなインスタンスを除外するという提案もあります。構造はCDCL SATソルバーによって悪用されます（多くのアイデアがバックドア、凍結変数などに言及されています）が、それらはほとんどアイデアであり、それらをバックアップする強力な理論的または実験的証拠はありません。厳密に適切に定義し、これらのアルゴリズムがうまく機能するインスタンスにプロパティがあることを示し、次にこれらのアルゴリズムがそれらのプロパティを活用することを示す必要があると思います。

一部の人々は、節の比率としきい値が町で唯一のゲームであると主張し続けています。産業用SATソルバーの動作に少し精通している、または証明の複雑さの知識がある人なら誰でも知っているように、これは間違いです。SATソルバーを実際にインスタンスで動作させるか、動作させない多くのことがあり、句の比率は関与する可能性のあるものの1つにすぎません。次の調査は、証明の複雑さとSATソルバーの関係と展望について学ぶための良い出発点だと思います。

• ヤコブ・ノードストローム、「証明の複雑さとSATの解決の相互作用について」、2015年

興味深いことに、しきい値現象でさえ、ほとんどの人が考えるよりも複雑です。MosheVardi は、講演「位相遷移と計算の複雑さ」で、GRASPの実行時間の中央値は、しきい値後のランダム3SAT式では指数関数のままですが、指数は減少すると述べました（afaik、どのくらい速く減少するかは明らかではありません）。

なぜSATソルバーを（複雑性理論家として）研究するのですか？答えは他のアルゴリズムの場合と同じだと思います：1.それらを比較し、2.それらの限界を見つけ、3.より良いものを設計し、4.複雑性理論の基本的な質問に答えます。

ヒューリスティックをモデル化する場合、ヒューリスティックを非決定性に置き換えることがよくあります。質問は、それが「公正な」代替品になりますか？そして、ここで公平に言えば、上記の質問に答えるのに役立つモデルがどれだけ近いかということです。

SATソルバーを証明システムとしてモデル化すると、証明システムの下限を持つステートメントに対してアルゴリズムが非効率になるため、部分的にその制限を示しています。ただし、アルゴリズムが実際に検出するものと、証明システムでの最適な証明との間にはまだギャップがあります。したがって、逆も同様に示す必要があります。つまり、アルゴリズムは証明システムの証明と同じくらい良い証明を見つけることができます。私たちはその質問にすぐに答えることはできませんが、非決定論に置き換わるヒューリスティックの量が、モデルが証明システムにどれだけ近いかを定義します。ヒューリスティックの非決定性への置き換えを完全に落とすとは思わない。

したがって、モデルを見るときの質問は、SATソルバーAがSATソルバーBよりも優れている理由をモデルがどの程度説明するのに役立ちますか？彼らはより良いSATソルバーを開発するのにどのくらい役立ちますか？SATソルバーは、実際にはモデル内の最適な証明に近い証明を見つけますか？...また、実際のインスタンスをモデル化する必要があります。

CDCL SATソルバーが「実際のインスタンスの構造を活用する」という直感については（その構造が何であれ）、一般的に受け入れられていると思います。本当の問題は、それが何を意味するのか説得力のある説明を与え、それが本当に真実であることを証明することです。

最近の開発については、Jakob Nordstrom自身の回答も参照してください。

厳しい時間制限のためにこれを非常にすばやく入力しています（同じ理由で以前に応答することすらできませんでした）が、少なくとも2セントでチップインしようと考えました。

これは本当に素晴らしい質問だと思います。過去数年間、これを検討するのにかなりの時間を費やしてきました。（完全な開示：このタイプの質問に対する答えを見つけようとするために、現在の資金の大部分を正確に受け取り、さらに深い洞察をより効率的なSATソルバーに変換する可能性があります。）

一文の答えを与えなければならないなら、私は思う

誰も本当に知らない、これは活発な研究分野です

それは得るとほぼ同じくらい良いです。特に理論的な側面から、より多くの活動のためのより多くの余地があることを除いて。

他の回答やコメントですでに議論されているいくつかの提案された説明（相互に排他的ではない）は

• （a）バックドア、
• （b）パラメータ化された複雑さの考慮事項、
• （c）CNF問題のグラフ構造、
• （d）証明の複雑さの考慮事項、および
• （e）相転移。

終わり（e）から始まって、相転移に関してかなりの混乱があるようです。ここでの簡単な答えは、変数に対する節の比率が、適用された問題または理論上の組み合わせの問題（巧妙なインスタンス）に関連していると信じる理由はまったくないということです。しかし、何らかの理由で、SATコミュニティの適用部分では、節と変数の比率が何らかの形で一般的に関連する尺度であると誤解されることは珍しくありません。節と変数の比率は、ランダムk-SATには非常に重要ですが、他のモデルには重要ではありません。

私の感じでは、バックドア（a）は一般的な説明でしたが、実際には実際に何が起こっているのかを説明する説得力のある証拠を見たことはありません。

パラメータ化された複雑さ（b）は、SATのいくつかの側面に関する美しい理論を提供します。非常に魅力的な仮説は、SATインスタンスは「扱いやすい島に近い」傾向があるため、簡単だということです。この仮説は、研究の多くの刺激的な方向性を開くと思います。回答のいくつかで述べたように、（a）と（b）の間には多くのつながりがあります。ただし、これまでのところ、パラメーター化された複雑さが実際に行われていることとあまり相関していないという証拠は実際にはありません。特に、扱いやすいインスタンスは実際には非常に困難になる可能性があり、小さなバックドアのないインスタンスは依然として非常に簡単になる可能性があります。

工業的な事例について私にとって最も信頼できると思われる説明は、（c）、つまり、問題のCNF公式の（グラフ）構造が実際のSATのパフォーマンスと相関するべきであるということです。ここでの考え方は、産業インスタンスの変数と節は、ほとんどつながりのない適切に接続されたコミュニティにクラスター化でき、SATソルバーは何らかの形でこの構造を活用するというものです。残念ながら、これをより厳密に特定することは非常に困難であり、同様に残念なことに、この領域はかなりの誇大広告に苦しんでいます。私がこれまでに論文で見た説明の提案は非常に不満足であり、モデルは簡単に撃ち落とされるようです。問題は、これを徹底的にやりたい場合は、その後、数学は非常に難しくなり（難しい問題だから）、また非常に乱雑になります（関連する結果を得るにはモデルを現実に近づける必要があるため）。特に、変数の選択に対するVSIDS（変数状態独立減衰和）ヒューリスティックのパフォーマンスは、インスタンスのグラフ表現でコミュニティを探索するためうまく機能することを説明している論文を見ましたが、仮説自体はまだ説得力がありませんとても魅力的な。

私が個人的に追求した研究の1つの行は、実用的なSATのパフォーマンスが、問題のCNF公式の証明の複雑さの尺度と何らかの相関関係があるかどうかです。残念ながら、簡単な答えは、明確で説得力のある接続が実際にはないということです。それでも、自明ではない相関関係があるかもしれません（これは現在、さまざまな方法で調査していることです）が、理論はあまりに素晴らしく、きれいで、きれいであり、現実はあまりにも面倒なので、本当に良い一致はありません。（証明の複雑さの測度とSATの実用的な硬さに関する論文についてCP '12のJärvisalo、Matsliah、Nordström、およびŽivnýにより、より詳細な実験により、より複雑な全体像が得られ、明確な結論が得られないことが明らかになりました。しかし、それは複雑ですが、それでもまだうまくいけば面白いです。）

証明の複雑さにおけるもう1つの関連する作業ラインは、最先端のSATソルバーを証明システムとしてモデル化し、これらのモデルの定理を証明して対応するソルバーの特性を推定することです。しかし、これはちょっとした地雷原です。というのも、理論モデル側での小さくて一見無害な設計の選択は、実際の観点からはまったく無関係な結果につながる可能性があるからです。一方、関連する結果を得るために現実に十分近い理論モデルが必要な場合、このモデルは非常に面倒になります。（これは、SATソルバーのパフォーマンスがこれまでに発生したすべてのグローバルヒストリに非自明な方法で依存するためです。これは、証明システムを通常設定する方法ではモデルをモジュール化できないことを意味します---特定の導出ステップが"正しい"

ただし、これに対する例外として実際に言及されるべき2つの論文は、[Pipatsrisawat and Darwiche 2011]および[Atserias、Fichte and Thurley 2011]であり、自然な方法でモデル化されたSATソルバーを学習する紛争駆動型節には、完全な一般的な解像度を多項式でシミュレートする可能性。[PD11]と[AFT11]に先行するかなり長いリストがあり、本質的に同じ結果を主張していますが、それらはすべてモデリングに重大な問題があります。（[PD11]と[AFT11]も動作するためにいくつかの仮定が必要であることは事実ですが、パラメーター化された複雑さの階層が崩壊することを示す論文を求めない限り、それらは予想される最小限のものです。）

繰り返しますが、私はこのすべてを非常に迅速に書いていますが、上記のいずれかに実質的な関心がある場合は、詳しく説明することを試みることができます（ただし、再びこれに戻るには時間がかかる場合があります---あなたが私にコメントして欲しいものです）。参照を提供する簡単な方法として、いくつかの恥知らずなセルフプラグインをさせてください（ただし、いくつかのコメントがこれらの参照のいくつかを引用しているのを見ると、恥はいくらか減少します）：

2016年に国際サマースクールの「充足可能性、充足可能性モジュロ理論、自動推論」で行われた証明の複雑さとSATの解決の相互作用についてのチュートリアル形式のトーク：スライドの最後に完全な参考文献があります：http : //www.csc .kth.se /〜jakobn / research / TalkInterplaySummerSchool2016.pdf

少し最近の、より簡潔な調査講演、2017年初頭からの証明された複雑さのレンズを介した紛争駆動型SATの理解（最後に完全な参照もあります）：http : //www.csc.kth.se/~jakobn/research /TalkProofComplexityLensCDCL1702.pdf

証明の複雑さとSAT解法の関係の調査：http : //www.csc.kth.se/~jakobn/research/InterplayProofCplxSAT.pdf [書誌参照：JakobNordström。証明の複雑さとSATの解決との相互作用について。 ACM SIGLOG News、第2巻、第3巻、19〜44ページ、2015年7月。（若干の誤字が修正された軽く編集されたバージョン。）

証明システムとして忠実にモデル化されたSAT '16論文：http ://www.csc.kth.se/~jakobn/research/Trade-offsTimeMemoryModelCDCL_SAT.pdf [書誌参照：Jan Elffers、Jan Johannsen、Massimo Lauria、Thomas Magnard 、ヤコブノルドストローム、マークヴィニャール。CDCL SATソルバーのより厳密なモデルにおける時間と記憶のトレードオフ。では第19回理論と充足テストの応用（SAT '16）、国際会議の議事録コンピュータサイエンス、ボリューム9710での講義ノート、ページ160から176、2016年7月]

この分野で実際に働いたことがないのに、これに2セントの理解を加えさせてください。

「ある種のインスタンスに対するSATソルバーの理論的効率を証明するための既知のアプローチはどれですか」と「実際にSATソルバーが効率的である理由」の2つの質問のいずれかを求めています。

前者の質問については、Stefan Szeiderの研究のみを紹介します。彼は、SATのバックドアとFPTパラメーター化のトピックで現在最もアクティブな領域であるように思われます（これには、ツリー幅タイプのメジャーやいわゆるバックドアセットなどの構造的アプローチと、この2つの混合が含まれます）。

後者の質問については、正直なところ、その正確な質問は、私が参加したすべてのSAT解決ワークショップ（近年を含む）で議論されているので、決着した問題ではありません。しかし、私の印象は次のとおりです。

まず第一に、「現実」とはどういう意味かを定量化または制限する必要があります。SATソルバーが、（もちろん）投げる問題に対して普遍的に優れたソルバーであること、そして異なる戦略を必要とする異なる問題の間には当てはまりません。たとえば、SATソルバーが支援する膨大なコンピューター検索によって数学的推測が検証または強化された最近の成功例がいくつかあります。この場合、明らかに、現代のSATソルバーが通常採用する巧妙なCDCLスタイルの改良とヒューリスティックは、あまり多くのパワーを実際に購入することはなく、ゲームはソースの問題を巧妙に分割することになりますパーツ、それに続く（本質的に）実行時間に小さな一定の要因を伴うブルートフォース分岐アルゴリズム。

私はこの点をわずかに売り過ぎているかもしれませんが、私のポイントは、SATソルバーが例えばErdos Discrepancy Conjectureを攻撃したとき、回路テス​​トから得られた産業用インスタンスを解決するときとは異なる理由で成功しました。

では、なぜCDCLベースのソルバーは、たとえば回路検証（回路等価性テスト）の産業用インスタンスでこれほどうまく機能するのでしょうか？私は思うここで最も強力なビュー（またはコンセンサスビュー）は、これらのインスタンスの構造と非常によく一致するCDCLソルバーの検索戦略です。これは、たとえば、回路が比較的複雑な部分（クラスターと呼ばれる）で構成されており、比較的階層の少ない比較的単純な接続で相互接続されていることを意味します。そして、すべてのヒューリスティックを備えたCDCLソルバーは、（事実上）これを活用し、これらのクラスターを共有変数に「投影」するのに優れています。しかし、これはまだ不十分な説明であるというコンセンサスビューでもあるようです（たとえば、インスタンスのグラフ構造を参照するだけでは、この領域でのCDCL SATソルバーの効率を理論的に説明できない可能性があります）。

扱いやすいパラメーター化は、後者の説明に何らかの形で役立つのでしょうか？正直に言うと、私は知りません。実世界のインスタンスは最悪のケースではなく、処理可能なインスタンスの分布に従って（おそらく）本当に平均的なケースではないという強力な効果があると思います。しかし、おそらくまだ質問する価値があります。

MattiJärvisalo、Arie Matsliah、JakobNordström、およびStanislavŽivnýによるCP '12の論文「SATの証明の複雑さの尺度と実用的な難しさの関係」があります。複雑さの尺度、特に解像度証明空間。結果は多少複雑ですが、それは正しい方向への一歩だと思います。

私はこの分野の専門家ではありませんが、ランダムなSAT /相転移のようなものは、産業/実用的なアプリケーションのようなものとは完全に無関係です。

たとえば、ランダムインスタンス（https://www.gableske.net/dimetheusなど）の非常に優れたソルバーは、統計物理法（信念伝播など）に基づいていますが、非常に優れた「一般的な」ソルバー（http://fmv.jku.at/lingeling/））（より多くのKavehが話していたもののような無関係な技術を使用している私は信じています。

しかし、私が言ったように、多分私の言葉を受け入れないでください。これは明確な非専門家によるものです。