幾何学的複雑性理論のウィキペディアスタイルの説明

専門家ではない人が理解できるマルムレーのGCTアプローチの簡潔な説明を誰かが提供できますか？トピックに関するウィキペディアのページに適した説明（現時点ではスタブです）。

動機：私はストリング・セオリーの研究者である私の友人とデモクリトス以来、スコット・アーロンソンの本「量子コンピューティング」を「共読」しています。本の序文で、アーロンソンはGCTを「コンピューターサイエンスの弦理論」と呼んでいます。ストリング理論家である私の友人は、この主張に興奮し、GCTとは何かを尋ねました。その時点で、私は彼の質問に対するウィキペディア対応の回答がないことを恥ずかしく思いました。

cc.complexity-theory gct

— アレッサンドロ・コセンティーノ
ソース

たぶん答えは1つにすることです:)。または少なくとも開始します。

— スレシュヴェンカト

スタブを作成します-すべてを自分で書く必要はありません:)。

— Suresh Venkat

@Kaveh：もちろん、2つのフィールド間に直接的な関係はありません！実際、スコットは、GCTがTCSの弦理論であるという意味でさえ説明します（これは、理論物理学とコンピューターサイエンスの分野の人々がそれぞれのアプローチをどのように認識しているかについてのメタ引数です-もちろん、まったく異なる質問です！）。何が私の質問を引き起こしたのかを説明するためだけにストーリーを報告しましたが、2つのフィールドが関連しているわけではありません。

— アレッサンドロコセンティーノ

関連質問：MulmuleyのGCTプログラム

— Kaveh

また、参照のことが示すことMulmuley-Sohoni GCTのアプローチを使用する方法が難しい知ら複雑分離を？下限を生成するMulmuley-Sohoniの幾何学的アプローチは、（Razborov-Rudichの意味で）自然な証明の生成をどのように回避しますか？と自然の証明と幾何学的複雑さの建設性

— vzn

回答:

どのレベルがウィキペディアの記事に適しているか（異なる記事は異なるレベルの専門知識を対象としているようです）または正確にあなたが探しているものが正確にわかりません。試してみますが、フィードバックを受け付けています。

幾何学的複雑性理論は、複雑さの固有の対称性と研究対象の関数の追加の対称性を活用することにより、計算関数（たとえば、多項式）の計算の複雑さを研究することを提案します。

多くの以前のアプローチと同様に、最終的な目標は、関数を入力として（たとえば、係数ベクトルによって）取る多項式があることを示すことにより 2つの複雑度クラスを分離することですすべての機能に消失が、いくつかの機能に消えない。 $\mathcal{C}_{easy}, \mathcal{C}_{hard}$ $p$ $f$ $p$ $f \in \mathcal{C}_{easy}$ $g_{hard} \in \mathcal{C}_{hard}$

最初の重要なアイデア（cf. [GCT1、GCT2]）は、対称性を使用して、関数自体を整理するのではなく、上記のなどの多項式でキャプチャされたこれらの関数の（代数幾何）プロパティを整理することです。これにより、このようなを見つけようとする際に表現理論を使用できます。表現理論と代数幾何学に関連する同様のアイデアは、以前は代数幾何学で使用されていましたが、私の知る限りでは決してこのようにはなりませんでした。 $p$ $p$

2番目のキーアイデア（cf. [GCT6]）は、結果の表現理論問題の組み合わせ（および多項式時間）アルゴリズムを見つけ、これらのアルゴリズムをリバースエンジニアリングして、そのようなが存在することを示すことです。これは、線形プログラミング（アルゴリズム）を使用して、特定の純粋な組み合わせステートメントを証明するという精神に基づいています。 $p$

実際、[GCT6]は、上記の表現理論上の問題を整数計画問題に縮小し、結果のIPがLP緩和によって解決されることを示し、最終的に結果のLPの組み合わせアルゴリズムを与えることを提案します。[GCT6]の予想自体は、リトルウッド-リチャードソン係数の既知の結果をリバースエンジニアリングすることによって動機付けられています。LR係数の場合、Littlewood-Richardsonの組み合わせ規則が最初に来ました。後にベレンシュタインとゼレビンスキー[BZ]、クヌートソンとタオ[KT]（わかりやすい概要については[KT2]を参照）は、LR係数のIPを与えました。KnutsonとTaoも飽和予想を証明しました。これは、IPがLP緩和によって解決されることを意味します（[GCT3、BI]を参照）。

[GCT5]の結果は、Noetherの正規化補題を明示的にランダム化することは、多項式同一性テストのブラックボックスランダム化の複雑性理論における悪名高い未解決問題と本質的に同等であることを示します。大まかなプログラムにこれがどのように適合するかは、（この場合、行列式が完全なクラス）で消滅する（しない）関数明示的な基底を見つけることで代数幾何学の他の設定で起こったように、表現理論の望ましい問題の組み合わせ規則。ここでの中間ステップは、それらの基礎を見つけることです。 $p$ $\mathcal{C}_{easy}$ $p$ これは、正規化では消滅しません（これは、より良い代数多様体であり、言い換えれば、DETのNoetherの正規化補題を非ランダム化します）。 $\mathcal{C}_{easy}$

複雑さと機能の対称性の例

例えば、関数の複雑 -複雑さの最も自然な概念について-私たちは、変数を並べ替える場合は変更されませんにより、いくつかの順列。したがって、順列は複雑さ自体の対称性です。代数回路の複雑さなどの複雑さの概念では、変数のすべての可逆線形変化は対称です。 $f(x_1, \dotsc, x_n)$ $f(x_{\pi(1)}, \dotsc, x_{\pi(n)})$ $\pi$

$\det(X)$ $\det(AXB) = \det(X^{T}) = \det(X)$ $A,B$ $\det(AB) = 1$

最近の進捗状況 [このセクションは間違いなく不完全で技術的ですが、完全なアカウントには数十ページかかります。...最近の進捗状況を強調したいだけです]

BurgisserとIkenmeyer [BI2]は、多重度がゼロと非ゼロの表現を使用する限り、GCTプログラムに続く行列乗算で下限を示しました。Landsberg and Ottaviani [LO]は、代数的性質を整理するために表現理論を使用し、表現の多重度も組み合わせ規則も使用せずに、行列乗算の境界ランクで本質的にの最もよく知られた下限を与えました。 $\frac{3}{2}n^2$ $2n^2$

Littlewood-Richardson係数の後の次の問題は、クロネッカー係数です。これらは、最終的にGCTで発生する表現理論上の問題に到達すると疑われる一連の問題、および行列乗算および恒久的対行列式に対するGCTアプローチの多重度の境界としてより直接的に現れます。クロネッカー係数の組み合わせ規則を見つけることは、表現理論における長年にわたる未解決の問題です。Blasiak [B]は最近、フック形状が1つのクロネッカー係数に対してこのような組み合わせ規則を与えました。

Kumar [K]は、列のラテン方格予想（Huang-RotaとAlon-Tarsiを参照）を仮定して、特定の表現が非ゼロの多重度を持つ行列式の座標リングに現れることを示しました。 ]）。したがって、これらの表現を使用して、ゼロと非ゼロの多重度に基づいてパーマネントを行列式から分離することはできませんが、多重度間のより一般的な不等式によってパーマネントを行列式から分離するためにそれらを使用することも可能です。

参考文献 [B] J. Blasiak。1つのフック形状のクロネッカー係数。arXiv：1209.2018、2012。

[BI] P.ブルギサーとC.イケンマイヤー。Littlewood-Richardson係数の陽性の最大フローアルゴリズム。FPSAC 2009。

[BI2] P.ブルギサーとC.イケンマイヤー。幾何学的複雑性理論による明示的な下限。arXiv：1210.8368、2012。

[BZ] ADベレンシュタインとAVゼレビンスキー。三重の多重度と、随伴表現の外部代数のスペクトル。 $\mathfrak{sl}(r+1)$ J.代数的結合。1（1992）、いいえ。1、7–22。

[GCT1] KD MulmuleyおよびM. Sohoni。幾何学的複雑性理論I：P対NPおよび関連問題へのアプローチ。SIAM J. Comput。31（2）、496–526、2001。

[GCT2] KD MulmuleyおよびM. Sohoni。幾何学的複雑性理論II：クラス多様体間の埋め込みのための明示的な障害物に向けて。SIAM J. Comput。、38（3）、1175–1206、2008年。

[GCT3] KD Mulmuley、H。Narayanan、およびM. Sohoni。幾何学的複雑性理論III：Littlewood-Richardson係数の非消失の決定について。J.代数結合 36（2012）、いいえ。1、103〜110。

[GCT5] KD Mulmuley。幾何学的複雑性理論V：多項式恒等式テストのブラックボックスデランダム化とネーターの正規化補題のデランダム化の等価性。FOCS 2012、arXiv：1209.5993も。

[GCT6] KD Mulmuley。幾何学的複雑性理論VI：陽性による反転。、テクニカルレポート、シカゴ大学、2011年1月、コンピュータサイエンス部門。

[K] S.クマール。行列式の軌道閉鎖によってサポートされる表現の研究。arXiv：1109.5996、2011。

[LO] JM LandsbergとG. Ottaviani。行列乗算の境界ランクの新しい下限。arXiv：1112.6007、2011。

[KT] A.クナットソンとT.タオ。テンソル積のハニカムモデル。I.飽和予想の証明。 $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ J.アメル。数学。Soc。12（1999）、いいえ。4、1055〜1090。

[KT2] A.クナットソンとT.タオ。ハニカムとエルミート行列の合計。お知らせ数学。Soc。48（2001）、いいえ。2、175–186。

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

どのレベルがウィキペディアに適しているかについての冒頭の文をもう一度読んでください。短い答えは可能な限り単純ですが、単純ではありません。特に、ウィキペディアの記事の冒頭は、（主題のハッシュを作成せずに）できる限り幅広い読者向けに書かれるべきです。後の部分はより技術的になります。詳細については、Wikipediaのガイドラインを参照en.wikipedia.org/wiki/WP:TECHNICALを（そしておそらくそれはないすべての記事は、これらの目標で成功することは言うまでもない。）

— デイビット・エップスタイン

en.wikipedia.org/wiki/Representation_theoryに似たレベルを目指すのは良い考えかもしれません。これは、やや穏やかに始まりますが、その後により技術的になります。

— ムギジルウェバンギラ

私は、まだ他の分野（特に物理学）の科学者であるCSの非専門家が理解できる説明を探していました。あなたの答えは、この必要条件を完全に満たしています。ありがとう！

— アレッサンドロコセンティーノ

これをウィキペディアのページに追加してみませんか？

— saadtaame

最近、Mathoverflow https://mathoverflow.net/questions/277408/what-are-the-current-breakthroughs-of-geometric-complexity-theoryの関連する質問に回答しました

このサイトはおそらくより良い場所なので、その答えを以下に繰り返します。JosephまたはTimothyへの言及は、そのMOの質問に対する他の投稿についてです。

LET、一般的なことマトリックスと次数によって与えられる均質多項式決定要因。LET 取り部分行列の永続的で、次数別の同次多項式を作成するために好みの線形形式で乗算します（代わりにエントリ使用することもできます）。この変更はpaddingと呼ばれます。次に、番号を定義します $X=(X_{ij})_{1\le i,j\le n}$ $n\times n$ $F_1(X)={\rm det}(X)$ $n$

F_{2} (X) = (X_{n n})^{n - m} \times p e r m [(X_{i j})_{1 \leq i, j \leq m}]

$F_2(X)=(X_{nn})^{n-m}\times {\rm perm}\left[(X_{ij})_{1\le i,j\le m}\right]$

m \times m

$m\times m$

n

$n$

X_{11}

$X_{11}$

X_{n n}

$X_{nn}$

c (m) = min {n | n \geq m a n d \bar{G \cdot F_{2}} \subset \bar{G \cdot F_{1}}}

$c(m)=\min\{\ n\ |\ n\ge m\ \ {\rm and}\ \ \overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}\ \}$ ここでさ次元のアフィン空間に作用する住んでいると軌道のザリスキ閉鎖されています。この領域の大きな推測またはヴァリアントの仮説（複雑なバージョン）は、が多項式よりも速く成長するということです。

G

$G$

G L (n^{2})

$GL(n^2)$

n^{2}

$n^2$

X

$X$

\bar{G \cdot F_{i}}

$\overline{G\cdot F_i}$

P \neq N P

${\rm P}\neq{\rm NP}$

c (m)

$c(m)$

m

$m$

今なら、その後、一方が有するA全射 -equivariantマップこれらの軌道閉鎖の座標リングの次数部分の間。したがって、ゲームは、多重度障害、つまり多重度が満たす既約表現の存在を証明することにより、に対して十分に大きくないため、これが起こらないことを示すことを試みます。 $\overline{G\cdot F_2}\subset \overline{G\cdot F_1}$ $G$

C [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d} ⟶ C [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d}

$\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d\longrightarrow \mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d$

d

$d$

n

$n$

m

$m$

λ

$\lambda$

{m u l t}_{λ} (C [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d}) < {m u l t}_{λ} (C [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d})

${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)<{\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)$ または理想のレベルで

{m u l t}_{λ} (I [\bar{G \cdot F_{1}}]_{d}) > {m u l t}_{λ} (I [\bar{G \cdot F_{2}}]_{d}) .

${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)>{\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_2}]_d)\ .$

楽観的アプローチが存在する表示しようとすることで発生障害物、すなわち、のようと。この希望は、ティモシーが言及したブルギッサー、イケンマイヤー、およびパノバの仕事に押しつぶされました。ただし、多重性障害の可能性はまだ開いています。 $\lambda$ ${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_1}]_d)=0$ ${\rm mult}_{\lambda}(\mathbb{C}[\overline{G\cdot F_2}]_d)>0$

Mulmuleyによるアプローチは、これらの多重度の計算に表現理論から利用可能なすべてのツールを活用することにより、そのような多重度障害の存在を証明しようとすることだと思います。個人的に、私はこのアプローチのファンではありませんでした。19世紀の不変理論をある程度詳しく研究してきたので、その時代の明示的なツールを使用して軌道分離問題にアプローチする方が自然に思えます。Gorchowによるこの記事は、同様の方向を指しているようです（Josephが言及した3番目の記事も同じ流れにあると思います）。古典言語（ターンブルまたはリトルウッドを参照）では、で消滅する混合付随物を明示的に構築する必要があります。 $F_1$ はありません。また、超多項式成長特性を確立するために、これを無限に（単位で）頻繁に行う必要があります。このような付随物は、既約表現お気に入りモデルから変数の多項式代数への特定の変写像と同じです（Grochowは分離モジュールを呼び出します）。19世紀の不変の理論家には、そのようなオブジェクトを生成するための2つの方法がありました：消去理論と図式代数。 $F_2$ $m$ $G$ $\lambda$ $n^2$ $X$

非常に赤ちゃん例との作用下バイナリ四次形態である（参照このMOの質問）と言うあるおよび分離付随（ここでは実際に共変）は、一般的なバイナリ4次ヘシアンではなく（同じ）消失しますが、消失しません。 $F_1$ $F_2$ $G=SL(2)$

F_{1} (x, y) = x^{4} + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y^{2} + 32 x y^{3} + 16 y^{4}

$F_1(x,y)=x^4+8x^3y+24x^2y^2+32xy^3+16y^4$

F_{2} (x, y) = 16 x^{4} - 24 x^{3} y + 12 x^{2} y^{2} - 2 x y^{3} .

$F_2(x,y)=16x^4-24x^3y+12x^2y^2-2xy^3\ .$

F

$F$

H (F) (x, y) = \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}} - {(\frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y})}^{2} .

$H(F)(x,y)=\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}-\left( \frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} \right)^2\ .$

x, y

$x,y$

F = F_{1}

$F=F_1$

F = F_{2}

$F=F_2$ 。この場合、ヘッセ行列は、（基本的な2次元表現の）2番目の対称ベキによって与えられる既約から、二次四次のアフィン空間の座標環への同変写像として見ることができます。

したがって、GCTの可能な超楽観的な「計画」には、次の一連の手順が含まれます。

1）大量の付随物を生成する方法を見つけます。

2）の消失の明示的な候補を特定し、その特性を証明します。 $F_1$

3）では消えないことを示します。 $F_2$

ステップ1）は、原則としての第1基本定理によって解決されますが、不一致があります：行列式は、（行に作用するの不変理論の自然なオブジェクトですそして、いうより列）。の不変理論の観点からの不変理論の基本的な構成要素を表現することにより、不一致の修復を試みることができます（同様の削減問題については、このMOの質問を参照してくださいに）。 $GL(n^2)$ $GL(n)\times GL(n)$ $GL(n^2)$ $GL(n^2)$ $GL(n)\times GL(n)$ $SL(n(n+1)/2)$ $SL(n)$

ステップ2）の適切な候補を推測することは私には難しいようです。いくつかの多重度がゼロ以外であることを事前に知っておくと間違いなく役立ちます。しかし、とにかくそれ以上のものを示すはずのステップ3）に付随するものの非同一の消失の証拠を先延ばしにして延期することもできます。そのような正しい候補があれば、パウリの排他原理（対称化を反対称化で縮約する）、高彩度数特性、または単に「スペース不足」と呼ぶことができる引数によって、でそれらが消えることを示すのは簡単かもしれません。 ${\rm mult}_{\lambda}(I[\overline{G\cdot F_1}]_d)$ $F_1$

ただし、最も難しい部分はステップ3）であると思います。たとえば、IkenmeyerとRoyleの論文「Ottavianiの不変量の立方体3倍の16,051式」では、推測はコンピューター検索によって行われましたが、正しい候補を手にすれば、の消失は比較的簡単に説明できました（むしろ大きなクリークではなく、グラフのグローバルプロパティによる色数のかなりの例）。記事のステップ3）の類似物は、ブルートフォースコンピューター計算によって行われましたが、なぜそれが真実であるかについての手がかりはまだありません。手順3）に関連する典型的な問題は、アロン-タルシ予想です（このMOの質問とこれを参照してください） $F_1$ も））。私の意見では、Valiantの予想の前に、この種の質問（KauffmanとBar-Natanによる削減を介したFour Color定理もこのタイプのものです）を進展させる必要があります。

質問はGCTのブレークスルーについてです。私が考えるこの記事、それは正確な値のための合理的な推測することを示唆しているので、ランズバーグとRessayreによってはまた、いくつかの注目に値するあるこの記事では、BürgisserとIkenmeyerによって、より単純な問題に関する明示的な「ステップ1）、2）、3）アプローチ」の概念実証が提供されていることに注意してください。最後に、GCTの詳細については、Landsberg のレビュー「幾何学的複雑性理論：幾何学入門」を強くお勧めします。 $c(m)$

(\begin{matrix} 2 m \\ m \end{matrix}) - 1 .

$\left(\begin{array}{c}2m\\ m \end{array}\right)-1\ .$

PS：私の悲観論は、この分野の「リーマン仮説」であるヴァリアント仮説に固有のものであると付け加えます。もちろん、これまでこの推測を証明できなかったため、お風呂の水で赤ちゃんを投げてGCTを軽nigすべきではありません。この分野には、進歩が見られ、さらに進歩が期待される、より親しみやすい問題がたくさんあります。特に、Growchowによる上記の記事とLandsbergによるレビューを参照してください。

— アブデルマレクアブデッセラム
ソース

-4

GCTは複雑性理論の限界を証明するための研究プログラムであり、その抽象度が高いためにウィキペディアスタイルの要約/要約に逆らいますが、TCSの群衆には良い調査が利用可能です。[2] [3] [4] （そして確かに、ウィキペディアはウィキペディアのエントリに最適な場所です）。Mulmuleyによって2000年代初頭に策定され、TCS /複雑性理論に由来しない高度な数学（代数幾何学）を使用および適用して、複雑性理論において比較的新しく、非常に高度です。

このアプローチは一部では有望であると考えられていますが、他の当局では複雑すぎる可能性があります。つまり、標準的な既知の「障壁」を克服できるかどうかは立証されておらず、議論の余地があります。（この意味では、いわゆるクーン語の「パラダイムシフト」の兆候を示します。）Mulmuleyでさえ、数十年のさらなる開発の後、現実的には（主要な複雑さのクラス分離を証明することで）成功しないかもしれないと提案しています。ここに、複雑性理論の分野の第一人者であるFortnowによる懐疑的な意見があります。[1]

巨大な山を考えて、山頂に到達したいとします。ケタンがやって来て、彼が山に登るのに必要な道具の作り方を教えると言います。勉強には1か月かかりますが、実際にはこれらのツールは山を登るには不十分です。それらは改善される必要があり、これらの改善はあなたの生涯には起こりません。しかし、あなたは他の人が今から何世紀も山を登る方法を学びたくないですか？

[1] P Fortnowブログとは異なるNPを証明する方法

[2] P対NPリーガンに対するマルムレー・ソーホーニアプローチの理解

[3] P対NPおよび幾何学的複雑性理論 Mulmuleyについて

[4] P対NP問題 Mulmuleyに向けたGCTプログラム

— vzn
ソース

また、参照幾何学的複雑性理論を：AN導入のための幾何 JMランツベルク

— vzn