mod_mゲートが興味深いのはなぜですか？

ライアン・ウィリアムズは、すべての可能なmについて、アンバウンドのファンインとゲートAND、OR、NOT、およびMOD_mを使用して一定の深さの回路を持つ問題のクラスであるACCに下限を投稿しました。

MOD_mゲートの特別な点は何ですか？

• これにより、任意のリングZ_mで算術をシミュレートできます。
• ライアンの結果の前に、MOD_mゲートをミックスにスローすると、既知の下限が機能しなかった最初のクラスが得られました。

MOD_mゲートを研究する他の自然な理由はありますか？

自然の複雑性クラスです。$ACC^0$

1）バリントンは、解けないモノイド上の計算がをキャプチャし、解けるモノイド上の計算がA C C 0をキャプチャすることを示しました。$NC^1$$ACC^0$

2）最近、HansenとKoucky は、ポリサイズの一定幅の平面分岐プログラムがまさにあるという美しい結果を証明しました。平面性の条件がなければ、もちろん我々は特徴づけるバーリントンの結果を得るN C 1を。$ACC^0$$NC^1$

したがって、とN C 1の違いは、一方ではグループ理論であり、他方ではトポロジカルです。$ACC^0$$NC^1$

$S_4$

平面性については、平面性が情報の流れに制限/ボトルネックを課す可能性があると考えたいと思います。これは常に正しいとは限りません。たとえば、平面3SATのバリエーションはNP完全であることが知られています。ただし、小規模なクラスでは、これらの制限は保持される可能性がより高くなります。

同様に、ウィグダーソンは分離補題を使用してNL / poly = UL / polyを示しました。NL = ULを取得するために、任意のDAGで分離補題をランダム化する方法はわかりませんが、平面DAGでそれを行う方法は知っています。

$\bmod m$$m$$\bmod p$

ゲート、およびリーフでの入力と定数のみで構成される定深度回路のクラスを考えます。次に、回路のサイズに関係なく、そのような回路では（たとえば）OR関数を計算できないことを簡単に示すことができます。（これは、そのような回路がで低次多項式を計算し、ORの次数が）。$\bmod p$$\mathbb{F}_p$$n$

ただし、に少なくとも2つの異なる素因数があるゲートのみで構成される回路を検討する場合、OR関数には（指数サイズの）深さ回路があります。$\bmod m$$m$$2$

そして、Ryanの結果の前は、が適切な下限を持たない最小クラスだったと思います。$AC^0[\bmod 6]$

あなたの2つのポイントについて詳しく説明します：

計算を理解するビジネスをしている場合、モジュラーカウントは理解の最前線の1つです。モジュラーカウントは、計算における最も単純で最も自然な現象の1つですが、それについてはほとんど理解していないようです。Mod6ゲートだけで多項式サイズの深さ3の回路がNPのすべての関数を計算できる可能性を排除することはできません。ただし、このような回路はサポートサイズが大きい関数のみを計算できるため、ANDなどの非常に単純な関数を計算できないと推測されます。上限側では状況は似ていますが、重要な結果はありません。

これらの質問は、Z_m上の多項式と行列に関する非常に自然な質問と密接に関連しているため、純粋に数学的な観点からも非常に興味深いものです。一例を挙げると、Z_6上のnxn共対角行列のランクには適切な下限がありません。共対角行列は、対角線に0があり、対角線に0以外があります。