Metric TSPの近似アルゴリズム

メトリックTSPは以内で近似でき、多項式時間でを近似できないことが知られています。指数時間（たとえば、多項式空間のみでステップ未満）で近似解を見つけることについて何か知られていますか？たとえば、距離が最大ツアーを見つけることができる時間と空間は何ですか？$1.5$ 2n1.1×OP$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

私はこの問題を研究しましたが、TSPの最も有名なアルゴリズムを見つけました。

$n$は頂点の数、は最大エッジウェイトです。すべての範囲は、入力サイズの多項式因子（）まで与えられ。ATSPで非対称TSPを示します。$M$$poly(n, \log M)$

1. TSPの正確なアルゴリズム

1.1。一般的なATSP

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$時間およびスペース（Björklund）。$exp$

$2^n$時間とスペース（ベルマン ; 開催、カープ）。$2^n$

$4^n n^{\log n}$時間とスペース（Gurevich、Shelah ; Björklund、Husfeldt）。$poly$

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$時間およびスペース（Koivisto、Parviainen）。$2^t$$t=n,n/2,n/4,\ldots$

$O^*(T^n)$時間といずれかのためのスペースと（コイヴィスト、Parviainen）。$O^*(S^n)$$\sqrt2<S<2$$TS<4$

$2^n\times M$時間とポリ空間（Lokshtanov、Nederlof）。

$2^n\times M$時間と空間（Kohn、Gottlieb、Kohn、Karp、Bax、Franklin）。$M$

Metric TSPの場合でも、上記のアルゴリズムよりも良いものはありません。多項式空間を持つTSPの時間アルゴリズムを開発することは大きな課題です（未解決の問題2.2.b、Woegingerを参照）。$2^n$

1.2。TSPの特殊なケース

$1.657^n\times M$時間とエラーの指数関数的に小さな確率（Björklund無向TSP用）。

$(2-\epsilon)^n$および有界平均次数を持つグラフのTSPの指数空間、はグラフの次数のみに依存します（Cygan、Pilipczuk ; Björklund 、Kaski、Koutis）。$\epsilon$

$(2-\epsilon)^n$および有界最大次数および有界整数の重みを持つグラフのTSPの空間、はグラフの次数のみに依存します（Björklund、Husfeldt、Kaski、Koivisto）。$poly$$\epsilon$

$1.251^n$および立方グラフのTSPの空間（岩間、中島）。$poly$

$1.890^n$および次数グラフのTSPの空間（Eppstein）。$poly$$4$

$1.733^n$次数グラフでのTSPのおよび指数空間（Gebauer）。$4$

$1.657^n$時間及び無向Hamiltomianサイクル（用-space Björklund）。$poly$

$(2-\epsilon)^n$および最大でハミルトニアンサイクルを持つグラフのTSPの指数空間（定数）（Björklund、Kaski、Koutis）。$d^n$$d$

2. TSPの近似アルゴリズム

2.1。一般的なTSP

P = NP（Sahni、Gonzalez）でない限り、多項式時間計算可能関数内で近似することはできません。

2.2。メトリックTSP

$3 \over 2$近似（クリストフィデス）。

P = NP（Karpinski、Lampis、Schmied）でない限り、以上の比率で近似することはできません。$123\over 122$

2.3。グラフィックTSP

$7\over5$（、Vygen）。

2.4。（1,2）-TSP

MAX-SNPハード（Papadimitriou、Yannakakis）。

$8 \over 7$ -approximation（Berman、Karpinski）。

2.5。ディメンションに制限があるメトリックのTSP

固定次元ユークリッド空間でのTSPのPTAS（Arora ; Mitchell）。

TSPは次元のユークリッド空間（トレビザン）でAPX困難です。$\log{n}$

制限された倍増ディメンション（Bartal、Gottlieb、Krauthgamer）を持つメトリックでのTSPのPTAS 。

2.6。有向三角形の不等式を持つATSP

$O(1)$ - 近似（スベンソン、タルナフスキ、ヴェー）

P = NP（Karpinski、Lampis、Schmied）でない限り、以上の比率で近似することはできません。$75\over 74$

2.7。禁じられた未成年者を含むグラフのTSP

平面グラフのTSPの線形時間PTAS（Klein）。

マイナーフリーグラフのPTAS（Demaine、Hajiaghayi、Kawarabayashi）。

$22\frac{1}{2}$ -平面グラフのATSPの近似（Gharan 、Saberi）。

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$属-でATSPため-approximationをグラフ（エリクソン、Sidiropoulos）。$g$

2.8。MAX-TSP

$7\over9$ -TSPの近似値（Paluch、Mucha、Madry）。

$7\over8$ -MAX-Metric-TSPの近似値（コワリク、ミュシャ）。

$3\over4$ -MAX-ATSP（Paluch）の近似。

$35\over44$ -Metric-ATSPの近似値（コワリク、ミュシャ）。

2.9。指数時間近似

任意の指数空間で、時間 MIN-Metric-TSPの -近似を計算することができます。、または時間と任意の多項式空間（Boria、Bourgeois、Escoffier、Paschos）。$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

追加や提案に感謝します。

HeldおよびKarpの正確なアルゴリズムの「切り捨てられた」バージョンを適応させることにより、時間（および空間） 1.1近似を取得できます。ここで、は場所の数です。より一般的には、すべてのについて、 -近似は時間で見つけることができます。これは次のものからです：O *（2 N）N （1 + ε ）O *（2 （1 - ε / 2 ）N）ε ≤ 2 /$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

ニコラス・ボリア、ニコラス・ブジョワ、ブルーノ・エスコフィエ、ヴァンゲリス・Th。Paschos：いくつかのグラフ問題の指数近似スキーマ。オンラインで利用可能。

近似可能性の下限と上限持ち、現在問題についても、同様の質問をすることができます。私は質問者が準指数時間アルゴリズムに興味があると仮定しています。これは、未知の「真実」に依存します。問題は、間隔[どこかである因子内で近似するのが困難なNP であるとします。これが意味するのは、SATから問題への削減があり、 -approximation よりも良いとSATへの答えを決定できるということです。SATの指数時間仮説を信じる場合、削減の効率はβ α < β γ α 、β ] γ θ γ 2 N O （θ ）$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$未満の時間では、以下の近似は不可能です。しかし、多項式時間ではよりも悪いことが起こり得ます。これが意味することは、通常は$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$（少なくとも定数因子の範囲で）部分指数時間を与えられた場合でも近似比の改善が見られます。既知の最良の硬度結果がSATからの非効率的な削減によるものであるいくつかの問題があります。つまり、硬度結果は、NPが準多項式時間に含まれないなど、より弱い仮定の下にあります。そのような場合、サブ指数時間でより良い近似を得ることができます。私が知っている唯一のものは、グループシュタイナーツリーの問題です。最近の有名な結果は、ユニークなゲームの準指数時間アルゴリズムに関するArora-Barak-Steurerの結果です。この結果から得られる結論は、UGCが真である場合、SATからUGCへの削減は何らかのものでなければならないということです非効率、つまり、SAT式から取得されたUGCのインスタンスのサイズは、特定の方法でパラメーターとともに大きくする必要があります。

重み付き有界グラフの最適なtspは http://erikdemaine.org/papers/ContractionTSP_Combinatorica/です。