木のNP困難な問題

一般的なグラフでNP困難であることが知られているいくつかの最適化問題は、入力グラフがツリーの場合、多項式時間（線形時間でも）で簡単に解決できます。例には、最小頂点カバー、最大独立セット、サブグラフ同型が含まれます。ツリー上でNPハードのままであるいくつかの自然な最適化問題に名前を付けます。

標準参照のツリーに制限されている場合でも困難なグラフ問題の「自然な」および「よく知られている」例を見つけることができます。例：

• 積分k-マルチコモディティフロー、
• 共通の埋め込みサブツリー、
• 共通サブツリー。

（これらはツリーの問題として定式化されますが、それらを任意のグラフに一般化できます。その後、上記の定式化は、ツリーへの入力を制限する特別なケースとして取得されます。）

木上の困難な問題を発生させるための、より一般的なレシピ：に関連するNP困難問題テイクsupersequences、超弦、ストリングそして、ラベルされた経路グラフとして文字列を再解釈などを、。次に、一般的なグラフ（サブシーケンス≈グラフマイナー、サブストリング≈サブグラフ）に類似した質問を投げかけます。そして、私たちは、問題が木（およびパス）上でもNP困難であることを知っています。

サブセット合計問題からの削減により、加重星では難しい多くの問題もあります。自然な例は次のとおりです。

• 2件の旅行者とTSP：エッジ重み付きグラフ所与リミット、我々は閉じた二つの歩行見つけることができると中各徒歩最大で総重量を有するように、及び各ノード少なくとも一つによって覆われています。歩く？W C 1 C 2 G W $G$$W$$C_1$$C_2$$G$$W$$G$

繰り返しますが、テーマのバリエーションを簡単に思い付くことができます。

ツリーを2次元整数グリッドに埋め込むことができるかどうかを決定するのはNP完全であり、ツリーの頂点を個別のグリッドポイントに配置し、ツリーエッジをグリッドエッジに配置します。

たとえば、Gregori、IPL 1989を参照してください。

Group Steiner問題は良い例です。この問題への入力は、無向エッジ重み付きグラフおよび頂点 kグループです。目標は、各グループから少なくとも1つの頂点を含む最小重みツリーを見つけることです。Gが星の場合でも、Set Cover問題は特殊なケースであることが簡単にわかります。したがって、P = NPでない限り、因子内で問題を近似することは困難です。さらに、NPが準多項式時間アルゴリズムをランダム化していない限り、固定因子内で問題を近似することは困難であることがHalperinとKrauthgamerによって示されました（正確な声明については論文をご覧ください）。あるS 1、S 2、… 、S k O （log n ）O （log 2 − ϵ n ）ϵ > $G=(V,E)$$S_1, S_2, \ldots, S_k$$O(\log n)$$O(\log^{2-\epsilon} n)$$\epsilon > 0$$O(\log^2 n)$ Garg、Konjevod、Raviによる木の近似。

ツリーで最も難しい問題の1つは最小帯域幅の問題です。それはあるまた、それは、髪の長さ1の円形キャタピラにNP困難である最大次数3の木に-hard。$NP$

参照：

マイケル・R・ギャリー、ロナルド・L・グラハム、デビッド・S・ジョンソン、ドナルド・E・クヌース。帯域幅を最小化するために複雑さが生じます。SIAM J. Appl。Math。、34（3）：477-495、1978

ブルクハルト・モニエン。毛の長さが3の毛虫の帯域幅最小化問題はNP完全です。SIAM J.代数離散法、7（4）：505-512、1986

W.ウンガー。帯域幅の問題の近似の複雑さ。FOCS、82〜91ページ、1998年

重み付けされていないエッジマルチカットの問題は、以下である：無向グラフが与えられるとの頂点のペアのコレクション、正の整数サブセットがある場合、検索せいぜいののエッジ除去切断のすべてのペアがコレクション内の頂点。G k S k $G$$G$$k$$S$$k$$G$

この問題は、星 [ 1 ]のNPハード（およびMAX SNPハード）です。

[ 1 ]ガーグ、Vazirani、及びYannakakis、木の積分フロー及びマルチカット用プライマルデュアル近似アルゴリズム、Algorithmica、18（1）、頁3-20、1997。

消防士の問題は最近かなりの注目を集めており、最大3の樹木では（やや驚くほど）NP困難です。これは実際にはかなり自然な質問であり、次のように説明されています。

ツリーのルート（より一般的には、グラフの指定された頂点）で火災が発生します。すべての段階で、消防士は1つの非燃焼頂点を保護します。その後、火災は保護されていないすべての隣人に広がります。火の隣に保護されていない頂点がなくなると、プロセスは終了します。最大で個の頂点を燃やす消防士向けの戦略はありますか？$k$

または、バリアント、またNPハード：葉が燃えない消防士向けの戦略はありますか？

木では難しいとは思わないかもしれない問題は、計算幾何学におけるフリーズタグの問題です：簡単に言うと、単一の目覚めた 'ボットで始まるロボットの目覚めをスケジューリングする問題です。

重み付きスターグラフではNP困難であることが知られています。ただし、問題が飛行機内でNP困難であるかどうかは明らかです。NPの困難さは「ツリーネス」からではなく「任意のメトリック」から来ていると主張するかもしれませんが、スターグラフはメトリックの限られたスペースしか与えません。

ツリー所与のパーティションにおけるレベル （すなわち、エッジ隣接レベルの接続の頂点と）、及び整数。交差数が最大ように、レベル内の頂点を置換できますか？V （T ）k ϕ ：V （T ）→ { 1 、… 、k } T i i + 1 K $T$$V(T)$$k$$\phi: V(T)\to \{1,\ldots, k\}$$T$$i$$i+1$$K$$K$

この問題はNP完全であり、Martin HarriganとPatrick Healyによって証明されました レベル交差の最小化はNP-Hard for Trees、WALCOM 2011、LNCS 6552、pp。70–76です。$k$

帝国の色付けは樹木にとってNP困難です。

ましょう及び正の整数を固定すること、およびlet、その頂点集合ブロック（または帝国）に分割され、それぞれが含む正確グラフである頂点。 -colouring問題 -グラフの頂点の着色を求める最大で使用すること色は、逆に、異なる帝国に隣接頂点に同じ色を割り当て、決して隣接関係を無視して、同じ帝国のすべての頂点に同じ色を割り当てます。s G r （s 、r ）s COL r G $r$$s$$G$$r$$(s, r)$$s$$\text{COL}_r$$G$$s$

McGraeとジトー、帝国はハード地図作成します：帝国着色問題の複雑さは、 LNCSは、6986（2011）179から190には、以下のことを示し、木のため、 -のためのNP困難である （および他の正の値の多項式時間で解くことができます。）COL R S ∈ { 3 、... 、2 のR - 1 } $s$$\text{COL}_r$$s \in \{3,\ldots, 2r − 1\}$$s$

ネットワーク内のフローは、各ノードで最大1つの発信アークを使用する場合、コンフルエントです。（複数のシンクが許可されている直径4の）ツリー内の最大コンフルエントフローを決定するNP困難 性は、D。DresslerおよびM. StrehlerのCapacitated Confluent Flows：Complexity and Algorithms、LNCS 6078（2010）347-358で証明されています。

$TS$$T$$T_1\in TS$$T$$T_1$$T$

問題は、すべての入力ツリーに境界のない次数がある場合のみ、NP困難です（実際、近似するのは困難です）。

単純なグラフの調和のとれた色付けは、色の各ペアが多くても1つのエッジで一緒に表示される適切な頂点の色付けです。グラフの調和色数は、グラフの調和のとれた色付けにおける色の最小数です。Harmonious Chromatic Numberを見つけるこの問題は、EdwardsとMcDiarmidによって木の完全なNPであることが示されました。実際、彼らは問題が半径3の木に対してNP完全なままであることも示しています。

$u$$u$

関連する（より有名な）TSP問題の目標は、平均待ち時間ではなく最大値を最小化することです。TRPは一般に、より複雑な問題と考えられています（実際、ツリーメトリックのTSPはPにあります）。

樹木のNP硬度は、RA Sittersの「最小遅延問題は、重み付けされた樹木のNP困難」、ISCO 2002で示されました

グラフモチーフは、最大次数3のツリー上のNP完全問題です。

フェロー、フェルティン、ハーメリン、ビャレット、頂点色グラフで接続モチーフを見つけるためのシャープな操作性境界線 コンピュータサイエンスの講義ノート、2007年、ボリューム4596 / 2007、340-351

私はプロジェクトの一部として見た（非常に一般的な）問題があります：この問題のバリアントは、2つの頂点と単一のエッジを持つグラフでもNPハードのままであり、別のバリアントはツリー上のNPハードです。最初のバリアントのNP硬度は明らかにグラフの形状に由来するものではないため、2番目のバリアントはおそらくより興味深いものです。

$S$$C$$G=(V,E)$$S \subset V$$C \subset V$$S \cap C = \emptyset$$s \in S$$|s|$$F$$f \in F$$|f|$$e \in E$$t_e$$R \subseteq C \times F$$(c,f) \in R$$c$$f$

$s \in S$$A_s$$\sum_{f \in A_s} |f| \leq |s|$$P_r$$G$$r = (c,f) \in R$$c$$s$$f \in A_s$$e$$D_e$$r = (c,f) \in D_e$$P_r$$e$$\sum_{(c,f) \in D_e}|f| \leq t_e$

あなたはルーティングされるすべてのダウンロードを必要とするが、代わりにダウンロードのfilesizesの合計最大化しようとしていない場合はされますが、簡単にこの問題へのサブセット和を減らすことができますルーティングを：あなたは、スペースの膨大な量を備えた単一のサーバーを持って、Aサブセットの合計インスタンスのターゲット値に等しい容量のエッジを持つサーバーに接続された単一のクライアントと、サブセットの合計インスタンスの整数ごとに、同じサイズのファイルを作成します。クライアントは、これらすべてのファイルをダウンロードすることを望みます。

この質問の（かなり？）より興味深い変形は、容量を超えるエッジの数を最小限にしようとする場合です-おそらく私たちが取り組んでいるネットワークは、大西洋を横断するインターネットケーブルのモデルとケーブルの交換が非常に高価であるため、ファクター2へのアップグレードのコストを高速化し、ファクター3へのアップグレードを高速化することはごくわずかです。また、サーバー上のファイルの配置は既に指定されており、変更できないため、ルーティングの問題のみを調べます。

$U$$S \subseteq P(U)$$u \in U$

$s \in S$$u \in s$$u$

クライアントはすべてのサーバークラスターに固有のファイルを必要とするため、クライアントをサーバークラスターに接続するエッジは既に容量の限界にあります（容量は1、ファイルのサイズは1）。クライアントが任意のクラスターからユニバースの要素をダウンロードすると、そのクラスターに接続しているエッジが過負荷になります。数を最小化するだけでよいので過負荷の場合（容量を超えていない場合）、クライアントはペナルティなしでそのサーバークラスターでホストされているユニバースの残りの要素（対応するサブセットの残りの要素）をダウンロードできます。したがって、これは選択されるサブセットに対応します。クライアントはユニバース内のすべてのファイルを一度ダウンロードするため、ユニバースは実際にカバーされ、オーバーロードされるエッジの数を最小限に抑えるには、選択したサブセットの数を最小限にする必要があります。

上記の構成はツリーグラフを生成するので、ツリー上のNP困難問題の例であることに注意してください。

分裂不能な流れの問題。実際、UFPはシングルエッジでも困難です（ナップザック）。

$G(V, E)$$NP$

正式には、問題は次のとおりです。

分割グラフ同型

$T = (V,E)$

$\{E1,E2 \}$$E$$T1 = (V,E1)$$T2 = (V,E2)$

NP完全性の列は、グラハムとロビンソンの未発表の原稿、「同型因子分解IX：偶数木」を引用しています。

DSジョンソン、NP完全性コラム：進行中のガイド、Journal of Algorithms 3（1982）、288–300

どういうわけか私は最後の答えで色消し数の問題を見逃しましたが、これは私が知っている最も自然な問題の1つであり、それは木でNP完全です。

グラフの完全なカラーリングは、カラークラスのすべてのペアの間にエッジがあるような適切なカラーリングです。カラーリングは、調和のとれたカラーリングとは対照的に、色の各ペアが少なくとも 1つのエッジに表示される適切なカラーリングと言えます。また、クリークへの完全な（または完全な）準同型とも言えます。アクロマティック数問題は最大化問題であり、グラフの完全な色付けで最大数の色クラスを探します。

YannakakisとGravilは、この問題が2部グラフを補完するNP困難であることを証明しました。CairnieとEdwardsはその結果を拡張し、問題が木でNP完全であることを示しました。

多くの作業は、近似アルゴリズム[の分野では、この問題に行われている3、4、5 ]。

$n$$k$$\lceil\frac{n}{k}\rceil$

Circuit SATは木のNPCですか？ツリーの内側の頂点は、OR / ANDゲートとしてラベル付けされます。葉は入力です。回路がTrueと評価するための満足できる入力セットがあるかどうかを判断します。

$2^k - 1$